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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 36

36. int ((3 t a n theta - 4 c o s^2 theta)/(c o s theta)) d theta

Passo 1

No primeiro momento precisamos perceber que a fração pode ser escrita como a diferença de duas frações de mesmo denominador, de modo que nossa integrl fica escrita da seguinte forma:

I = int ( (3 t a n theta)/(c o s theta) - (4 c o s^2 theta)/(c o s theta) ) d theta

Passamos então ao próximo passo.

Passo 2

Para resolver esse exercício temos que fazer com que nossa integral fique como uma imediata.

Nesse caso começaremos utilizando a seguinte propriedade de integrais: a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = int (3 t a n theta)/(c o s theta) d theta - int (4 c o s^2 theta)/(c o s theta) d theta

Fazendo a simplificação as segunda parte da integral, temos:

I = int (3 t a n theta)/(c o s theta) d theta - int 4 c o s theta d theta

Agora tiramos todas as constantes da integral.

I = 3 int (t a n theta)/(c o s theta) d theta - 4 int c o s theta d theta

Passo 3

Para conseguir resolver a primeira parte da integral precisamos escrever a tangente como sua forma original.

tan theta = (sin theta)/(cos theta)

Logo a integral proposta assume a seguinte forma:

I = 3 int ((s i n theta)/(c o s theta))/(c o s theta) d theta - 4 int c o s theta d theta

I = 3 int (s i n theta)/(c o s^2 theta) d theta - 4 int c o s theta d theta

I = 3 int ( (s i n theta)/(c o s theta) . (1)/(c o s theta) ) d theta - 4 int c o s theta d theta

I = 3 int (t a n theta . s e c theta) d theta - 4 int cos theta d theta

Chegamos então a diferença de duas integrais conhecidas.

Resposta

I = 3 s e c theta - 4 s e n theta + c

Está ai nosso resultado final.

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