20. ∫ a x 2 + b x + c d x

Passo 1

A parte mais importante desse exercício é entender o que é variável e o que é constante nessa integral. Para esse caso nossa variável é o “x” portanto, todas as outras letras que aparecem são constantes. A partir dessa análise podemos pular aos próximos passos.

Passo 2

Para essa integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ ∫ ( a x 2 ) d x ] + [ ∫ ( b x ) d x ] + [ ∫ ( c ) d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 3

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: ∫ ( a x )   d x = a ∫ x d x .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ a ∫ ( x 2 ) d x ] + [ b ∫ x d x ] - [ c ∫ 1 d x ]

Passo 4

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = ∫ ( x n ) d x =   x n + 1 n + 1 + c      

Onde “n” é o expoente da variável.

Quando estamos resolvendo a integral proposta, percebemos que aparece uma integral de uma constante, podemos resolver essa integral da seguinte forma:

I = c ∫ 1 d x  

I = c ∫ x 0 d x

Sabendo que qualquer valor elevado ao expoente zero(0) é igual a um (1) então podemos escrever a integral acima da seguinte forma.

I = c ∫ ( x 0 ) d x = c x 0 + 1 = c x

Tendo agora a base teórica necessário, passamos ao próximo passo.

Passo 5

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = ∫ ( x n ) d x =   x n + 1 n + 1 + c      

Onde “n” é o expoente da variável.

Passo 6

Agora que temos nossa integral preparada e sabemos o método para integrar uma função polinomial podemos desenvolve-la.

I = [ a ∫ x 2 d x ] + [ ∫ x d x ] + [ c ∫ 1 d x ]

I = a x 2 + 1 2 + 1 + b   x 1 + 1 1 + 1 + c x + k

I = a x 3 3 + b   x 2 2 + c x + k

Nesse caso, k é a contante que aparece ao integrarmos.

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Chegamos então a nossa resposta final:

I = a x 3 3 + b x 2 2 + c x + k

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