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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 28

28. int ( (27 t^3 - 1)/(root(3)(t)) ) d t

Passo 1

Para integral proposta temos que primeiramente perceber que são três somas com o mesmo denominador, dessa forma podemos escrever a integral da seguinte maneira:

I = int ((27 t^3)/(root(3)(t)) - (1)/(root(3)(t))) d t

Passo 2

Vamos recordar da propriedade da radiciação que nos diz que uma raiz pode ser escrita em forma de potência. Aplicando essa propriedade encontramos a seguinte integral:

I = int ((27 t^3)/(t^((1)/(3))) - (1)/(t^((1)/(3)))) d t

Passo 3

Para conseguir prosseguir, precisamos lembrar da propriedade da potenciação e aplica-la a segunda parte da integral

(1)/(t^n) = t^(- n)

Agora verificamos que a integral tem uma forma bem mais simples do que a inicial:

I = int [ 27 t^3 (t^(- (1)/(3))) - ( t^(- (1)/(3)) ) ] d t

I = int [ 27 t^((8)/(3)) - t^(- (1)/(3)) ] d t

Passo 4

Para resolução desta integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ int ( 27 t^((8)/(3)) ) d t ] - [ int (t^(- (1)/(3))) d t ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 5

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = int ( t ) d t = (t)/(n + 1)^(n + 1) + c

Onde “n” é o expoente da variável.

Agora que temos toda base teórica, vamos ao trabalho!!

I = [ int ( 27 t^((8)/(3)) ) d t ] - [ int (t^(- (1)/(3))) d t ]

I = 27 ((t^((8)/(3) + 1))/((8)/(3) + 1)) - ((t^(- (1)/(3) + 1))/(- (1)/(3) + 1)) + c

I = 27 ((t^((11)/(3)))/((11)/(3))) - ((t^((2)/(3)))/((2)/(3))) + c

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Resposta final:

I = (81 t^((11)/(3)))/(11) - (3 t^((2)/(3)))/(2) + c

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