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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 26

26. int ( (y^4 + 2 y^2 - 1)/(sqrt(y)) ) d y

Passo 1

Para integral proposta temos que primeiramente perceber que são três somas com o mesmo denominador, dessa forma podemos escrever a integral da seguinte maneira:

I = int ((y^4)/(sqrt(y)) + (2 y^2)/(sqrt(y)) - (1)/(sqrt(y))) d y

Passo 2

Vamos recordar da propriedade da radiciação que nos diz que uma raiz pode ser escrita em forma de potência. Aplicando essa propriedade encontramos a seguinte integral:

I = int ((y^4)/(y^((1)/(2))) + (2 y^2)/(y^((1)/(2))) - (1)/(y^((1)/(2)))) d y

Passo 3

Para conseguir prosseguir, precisamos lembrar da propriedade da potenciação e aplica-la a segunda parte da integral

(1)/(x^n) = x^(- n)

Agora verificamos que a integral tem uma forma bem mais simples do que a inicial:

I = int [ y^4 (y^(- (1)/(2))) + 2 y^2 ( y^(- (1)/(2)) ) - ( y^(- (1)/(2)) ) ] d y

I = int [ y^((7)/(2)) + 2 y^((3)/(2)) - y^(- (1)/(2)) ] d y

Passo 4

Para resolução desta integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ int ( y^((7)/(2)) ) d y ] + [ int ( 2 x^((3)/(2)) ) d y ] - [ int (y^(- (1)/(2))) d y ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 5

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: int ( a x ) d x = a int (x) d x .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ int ( y^((7)/(2)) ) d y ] + [ 2 int ( x^((3)/(2)) ) d y ] - [ int (y^(- (1)/(2))) d y ]

Passo 6

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = int ( x^n ) d x = (x)/(n + 1)^(n + 1) + c

Onde “n” é o expoente da variável.

Agora que temos toda base teórica, vamos ao trabalho!!

I = = [ int ( y^((7)/(2)) ) d y ] + [ 2 int ( x^((3)/(2)) ) d y ] - [ int (y^(- (1)/(2))) d y ]

I = ((y^((7)/(2) + 1))/((7)/(2) + 1)) + 2 ((y^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1)) - ((y^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1)) + c

I = ((y^((9)/(2)))/((9)/(2))) + 2 ((y^((5)/(2)))/((5)/(2))) - ((y^((1)/(2)))/((1)/(2))) + c

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

I = ((2 y^((9)/(2)))/(9)) + ((4 y^((5)/(2)))/(5)) - (2 y^((1)/(2))) + c

Prontinho, nosso resultado final está ai.

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