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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 1

int (1)/(2 x^3 + x) d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (1)/(x ( 2 x^2 + 1 )) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(1)/(x ( 2 x^2 + 1 )) = (A (4 x) + B)/(( 2 x^2 + 1 )) + (C)/(x)

Isolando 1 , vamos achar

1 = ( A (4 x) + B ) x + C ( 2 x^2 + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = - (1)/(2) ; B = 0 ; C = 1 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(1)/(x ( 2 x^2 + 1 )) = (- (1)/(2) (4 x))/(( 2 x^2 + 1 )) + (1)/(x)

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (1)/(x ( 2 x^2 + 1 )) d x = int (- (1)/(2) (4 x))/(( 2 x^2 + 1 )) d x + int (1)/(x) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

Resposta

int (1)/(x ( 2 x^2 + 1 )) d x = l n ( x ) - (1)/(2) l n ( 1 + 2 x^2 ) + c

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25. int (2 x^2 - 10 x + 4)/(( x + 1 ) ( x - 3 )^2) d x
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Calcule a integral usando o método de frações parciais. ∫ x 2 + x - 16 x - 1 x - 3 2 d x
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