Uma massa de 10kg distende uma mola em 25 cm . Essa massa é substituída por uma massa de 30 kg , a qual é solta 30 cm acima da posição de equilíbrio com uma velocidade de 20 * (c m) / s para baixo. Expresse a solução na forma 8 . Quando a massa atinge a posição abaixo da posição de equilíbrio que é numericamente metade da amplitude?

Passo 1

Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:

m d 2 x d t 2 + k x = 0

O que precisamos fazer aqui é escrever uma equação diferencial com os dados cedidos pelo enunciado. Sendo assim, nossa equação será:

1,6 x ' ' + 40 x = 0

Resolvendo isso, teremos:

1,6 x 2 + 40 = 0

O que nos dá:

x 1 = 5 i

x 2 = - 5 i

Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:

x = c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n   b t

No qual b é a constante que acompanha i . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:

x t = c 1 cos ⁡ 5 t + c 2 s e n   5 t

Show!

Passo 2

De acordo com o enunciado tiramos as seguintes condições iniciais:

x 0 = - 1 3

x ' 0 = 5 4

Aplicando a primeira condição:

- 1 3 = c 1

Agora aplicando a segunda condição:

x ' t = - 5 c 1 s e n   5 t + 5 c 2 cos ⁡ 5 t

5 4 = 5 c 2

c 2 = 1 4

Logo a equação do movimento será:

x t = - 1 3 cos ⁡ 5 t + 1 4 s e n   5 t

Passo 3

O enunciado quer que escrevamos a equação nesse formato aqui ó:

x t = A . s e n ω t + θ

No qual:

A = c 1 + c 2

E θ é um ângulo de fase definido por:

tan ⁡ θ = c 1 c 2

Encontrando A :

A = 1 8 + 1 9 = 5 12

Agora encontrando θ :

tan ⁡ θ = - 1 3 5 4 = - 4 15

θ = a r c tan ⁡ - 4 15 + π = 0,927

Logo a expressão no formato 8 será:

x t = 5 12 s e n   5 t + 0,927

Passo 4

A metade da amplitude ocorre em:

x = 5 24

E isso ocorre nos tempos:

t = 1 5 π 6 + 0,927 + 2 n π

E:

t = 1 5 5 π 6 + 0,927 + 2 n π

Onde n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

E essa é nossa resposta, pessoal! 😉

Resposta

x t = 5 12 s e n   5 t + 0,927

t = 1 5 π 6 + 0,927 + 2 n π   e   t = 1 5 5 π 6 + 0,927 + 2 n π

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