Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 20
Uma massa de distende uma mola em . Essa massa é substituída por uma massa de , a qual é solta acima da posição de equilíbrio com uma velocidade de para baixo. Expresse a solução na forma . Quando a massa atinge a posição abaixo da posição de equilíbrio que é numericamente metade da amplitude?
Passo 1
Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:
O que precisamos fazer aqui é escrever uma equação diferencial com os dados cedidos pelo enunciado. Sendo assim, nossa equação será:
Resolvendo isso, teremos:
O que nos dá:
Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:
No qual é a constante que acompanha . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:
Show!
Passo 2
De acordo com o enunciado tiramos as seguintes condições iniciais:
Aplicando a primeira condição:
Agora aplicando a segunda condição:
Logo a equação do movimento será:
Passo 3
O enunciado quer que escrevamos a equação nesse formato aqui ó:
No qual:
E é um ângulo de fase definido por:
Encontrando :
Agora encontrando :
Logo a expressão no formato 8 será:
Passo 4
A metade da amplitude ocorre em:
E isso ocorre nos tempos:
E:
Onde
E essa é nossa resposta, pessoal! 😉