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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 36

Uma lâmina ocupa a parte do disco x 2 + y 2 ≤ a 2 que está no primeiro quadrante.

a Determine o centroide da lâmina.

( b ) Determine o centro de massa da lâmina se a função densidade for ρ x , y = x y 2 .

Passo 1

E aí, my beauties! Tudo bom com vocês?

A questão tá pedindo pra gente (a) o centroide e (b) o centro de massa de densidade

ρ x , y = x y 2

De uma lâmina que ocupa, no primeiro quadrante, parte desse disco aqui, ó:

x 2 + y 2 ≤ a 2

Observa que estamos trabalhando com um disco, então estaremos utilizando coordenadas polares. Relembremos alguns conceitos:

x = r c o s θ

y = r s e n   θ

r 2 = x 2 + y 2

d x d y = r d r d θ

Para resolver cada item, teremos fórmulas de integrais que iremos calcular, show?

Passo 2

Antes de tudo, precisaremos encontrar os limites de integração para resolvermos as fórmulas de cada item, belezinha?

Já temos o disco, onde sabemos quem é r :

x 2 + y 2 ≤ a 2

Como estamos no primeiro quadrante, então

0 ≤ r ≤ a

0 ≤ θ ≤ π 2

(a) Para o centroide, teremos a coordenada x - ,   y - , onde:

x - = 1 A ∬ D x d A

Como estamos trabalhando com um disco, as coordenadas serão as mesmas (é uma região homogênea), então só calculando x - já ajuda.

Mas quem é A ? É a área do nosso disco:

A = a 2 π 4

Assim, teremos, já com os limites de integração conhecidos e trocando tudo para coordenadas polares:

x - = 1 A ∫ 0 π / 2 ∫ 0 a ( r cos ⁡ θ ) r d r d θ

Assim, podemos facilitar nossa vida organizando essa integral e resolvendo ela por partes:

1 A   ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ d θ ∫ 0 a r 2 d r

Logo, resolvendo:

1 A   s e n   θ 0 π / 2 r 3 3 0 a

Substituindo pelos limites de integração, chegaremos a

1 A 1 a 3 3 = a 3 3 A

Como sabemos quem é a área A , então:

x - = 4 a 3 π

Pela simetria da região (um disco!), então

x - = y -

Logo, nosso centro de massa (centroide) será dado por

x - , y - = 4 a 3 π , 4 a 3 π

Passo 3

Já no item (b) precisamos calcular o centro de massa da lâmina. Primeiramente, a massa é dada por essa fórmula aqui, olha só:

m = ∬ D ρ x ,   y d A

Como sabemos nossos limites de integração e quem é ρ , então

m = ∬ D x y 2 d A

Trocando pelas coordenadas polares...

m = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 a ( r cos ⁡ θ )   r   s e n   θ 2   r   d r   d θ

Organizando melhor, chegaremos a

m = ∫ 0 π 2 ∫ 0 a r 4 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ   d r   d θ

Podemos fazer a mesma estratégia que no passo anterior, resolvendo os termos de acordo com seus integrandos:

m = ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ ∫ 0 a r 4 d r  

Assim, teremos, resolvendo cada integral e substituindo os limites:

sin 3 ⁡ θ 3 0 π 2 ⋅ r 5 5 0 a   = a 5 15

Então, para esse caso, nosso centro de massa para cada coordenada x - , y -   será dado por:

x - = 1 m ∬ D x ρ ( x ,   y ) d A

y - = 1 m ∬ D y ρ ( x ,   y ) d A

Onde sabemos quem é a densidade ρ , a região D e a massa m . Basta resolvermos cada uma das fórmulas.

Passo 4

Para x - ,

1 m ∬ D x   x y 2   d A

1 m ∬ D x 2 y 2   d A

Sabemos quem é cada termo em coordenadas polares, então iremos organizar tudo:

1 m ∫ 0 π 2 ∫ 0 a r 5 cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ d r d θ

Faremos a mesma estratégia que viemos fazendo, ou seja, separar as integrais com seus termos e integrandos:

M x = 1 m ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ d θ ∫ 0 a r 5 d r  

1 m 1 4 ⋅ sin 4 ⁡ θ 0 π 2 ⋅ r 6 6 0 a =

1 m ⋅ a 6 24 = 5 a π 33

Agora para y - , substituímos na fórmula com a mesma estratégia:

M y = 1 m ∫ 0 π 2 ∫ 0 a r 5 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d r   d θ

1 m ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ ∫ 0 a r 5 d r  

1 m ⋅ 1 8 ⋅ θ - 1 4 ⋅ sin ⁡ 4 θ 0 π 2 ⋅ a 6 6 = 1 m π a 6 96

Portanto, nosso centro de massa será x - , y - dado por

x - , y - = 5 a π 33 , 5 a 8

Pronto, nossa questão tá resolvida, galera! 😊

Resposta

a x - , y - = 4 a 3 π , 4 a 3 π

b x - , y - = 5 a π 33 , 5 a 8

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