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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 36

Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos x de uma chapa delimitada por x + y = 4 ,   x = 4   e   y = 4 . Considerar a densidade igual a uma constante igual a k

Passo 1

Para resolvermos questões relacionadas a centro de massa e momento de inercia precisamos da seguinte teoria :

Consideramos um sistema cuja massa total esta distribuída numa região do plano e não apenas num conjunto formado por um número finito de pontos, os conceitos de massa, centro de massa e momento são definidos por meio de integrais duplas. Por exemplo, consideremos uma lâmina fina tendo a forma de uma região D do plano e assumamos que a massa está distruibuida sobre essa lâmina com densidade (massa por unidade de área ) conhecida, isto é, existe uma função positiva f definida em D tal que f ( x , y ) representa a massa por unidade de área em x , y .

Para o calculo do momento de inercia da lâmina, segue que

Se L é uma reta no plano da lâmina D, seja δ ( x , y ) a distancia do ponto (x,y) em D à reta L. Defini-se momento de inercia por

I =   ∬ D δ 2 ( x , y )   f x , y d x d y

Onde f ( x , y )   é a densidade em cada ponto

Passo 2

O momento de inercia em relação ao eixo x é dado por:

I x =   ∬ D y 2   f x , y d x d y

Nossa região D é da forma:

Nossas variáveis estão delimitadas no seguinte intervalo

0 ≤ x ≤ 4

4 - x ≤ y ≤ 4

Como a densidade nos foi dita que é constante, segue que

f x , y =   k

Substituindo na nossa equação

I x =   ∫ 0 4 ∫ 4 - x 4 y 2 k d y d x = 64 k

Resposta

64 k

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