No exemplo 6, consideramos uma população de bactérias que dobra a cada hora. Suponha que outra população de bactérias triplique a cada hora e comece com 400 bactérias. Encontre a expressão para o número n de bactérias depois de t horas e use-o para estimar a taxa de crescimento da população de bactérias depois de 2,5 horas.

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😁

No exemplo 6, tinhamos que

n = 2 t ⋅ n 0

Porém, agora a população não duplica, mas sim triplica e temos também que n 0 = 400 . Então, ficamos com

n = 400 ⋅ 3 t

E apartir daqui queremos descobrir qual é a tava de variação dessas bactérias em t = 2,5 .

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

Taxa de variação nos dá ideia de derivada, portando para obter a taxa de variação de n temos que deriva-la em relação a t .

Veja só! 😁

Passo 2

Agora que temos a função n , podemos calcular a taxa de variação como a derivada, então ficamos com

d n d t = d 400 ⋅ 3 t d t

Podemos tirar a constante da derivada

d n d t = 400 d 3 t d t

Perceba que temos que calcular uma derivada onde a variavel está no expoente... esse tipo de derivada é calculada a partir da derivação logarítmica, mas relaxa que vou te passar um bizu massa...

Quando temos que derivar uma função do tipo f x = a x onde a é uma constante, sua derivada é dada por

f ' x = a x ln ⁡ a

Sacou? Nesse caso, a = 3 e x = t , ou seja

d n d t = 400 ⋅ 3 t ⋅ ln ⁡ 3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora, basta fazermos t = 2,5 para calcularmos a taxa de variação nesse instante

n ' 2,5 = 400 ⋅ 3 2,5 ⋅ l n ⁡ ( 3 )

n ' 2,5 ≈ 6850   b a c t é r i a s / h

O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

n ' 2,5 ≈ 6850   b a c t é r i a s / h

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