Um balão esférico começa a ser inflado. Encontre a taxa de crescimento da área da superfície ( S = 4 π r 2 ) em relação ao raio r quando r é (a) 1 pé (ft) , (b) 2 pés (ft) e (c) 3 pés (ft). Que conclusão você pode tirar?

Passo 1

Aobaaa pessuar, bora resolver essa comigo

O enunciado solicita a taxa de crescimento da área da superfície de um balão esférico em relação ao seu raio em três pontos específicos: quando o raio é 1 pé, 2 pés e 3 pés.

Ou seja, estamos interessados em como a área da superfície do balão está mudando à medida que seu raio aumenta em diferentes estágios de inflação.

Para calcular a taxa de crescimento da área da superfície S em relação ao raio r , podemos usar a derivada da área da superfície em relação ao raio r , denotada por d S / d r .

A área da superfície de uma esfera é S = 4 π r 2 e a derivada de S em relação a r é dada por:

d S d r = 8 π r

Isso nos dá a taxa de crescimento da área da superfície em relação ao raio.

Passo 2

(a) Para r = 1 pé:

Substituímos r = 1 pé na expressão d S d r = 8 π r , obtendo:

d S d r = 8 π × 1 = 8 π p é s 2 p é

(b) Para r   =   2 pés:

Substituímos r   =   2 pés na expressão d S d r = 8 π r , obtendo:

d S d r = 8 π × 2 = 16 π p é s 2 p é

(c) Para r   =   3   pés:

Substituímos r   =   3   pés na expressão d S d r = 8 π r , obtendo:

d S d r = 8 π × 3 = 24 π p é s 2 p é

A taxa de crescimento da área da superfície do balão aumenta linearmente com o aumento do raio. Isso significa que à medida que o balão é inflado, a taxa de aumento da área da superfície aumenta proporcionalmente ao raio.

Portanto, a medida que o raio aumenta, a área da superfície cresce mais rapidamente.

Resposta

  1. S ' 1 = 8 π   f t 2 / f t

  2. S ' 2 = 16 π   f t 2 / f t  

S ' 3 = 24   f t 2 / f t

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