Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.7 - Ex. 15
Um balão esférico começa a ser inflado. Encontre a taxa de crescimento da área da superfície () em relação ao raio quando é (a) 1 pé (ft) , (b) 2 pés (ft) e (c) 3 pés (ft). Que conclusão você pode tirar?
Passo 1
Aobaaa pessuar, bora resolver essa comigo
O enunciado solicita a taxa de crescimento da área da superfície de um balão esférico em relação ao seu raio em três pontos específicos: quando o raio é 1 pé, 2 pés e 3 pés.
Ou seja, estamos interessados em como a área da superfície do balão está mudando à medida que seu raio aumenta em diferentes estágios de inflação.
Para calcular a taxa de crescimento da área da superfície em relação ao raio podemos usar a derivada da área da superfície em relação ao raio denotada por .
A área da superfície de uma esfera é e a derivada de em relação a é dada por:
Isso nos dá a taxa de crescimento da área da superfície em relação ao raio.
Passo 2
(a) Para pé:
Substituímos pé na expressão obtendo:
(b) Para pés:
Substituímos pés na expressão , obtendo:
(c) Para pés:
Substituímos pés na expressão , obtendo:
A taxa de crescimento da área da superfície do balão aumenta linearmente com o aumento do raio. Isso significa que à medida que o balão é inflado, a taxa de aumento da área da superfície aumenta proporcionalmente ao raio.
Portanto, a medida que o raio aumenta, a área da superfície cresce mais rapidamente.