Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 16
O volume de uma célula esférica em crescimento é
Onde é medido em micrômetros () . Encontre a taxa de variação média de em relação a quando varia de
a
a
a
Encontre a taxa de variação instantânea em relação a quando
Mostre que a taxa de variação do volume de uma esfera em relação a seu raio é igual a área de sua superfície. Prove geometricamente por que esse resultado é verdadeiro. Mostre um argumento análogo ao do Exercício 13(c).
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema!
O enunciado nos dá volume de uma célula esférica em crescimento:
Onde é medido em micrômetros () e temos que encontrar: a taxa de variação média de em relação a quando varia de a , a e a .
Além disso queremos descobrir a variação instantânea em e que a taxa de variação do volume da célula é igual a sua area superficial.
Parece complicado?
Repara na palavra MÉDIA, isso significa que não vamos usar a derivada aqui. A taxa de variação média do volume é dado por :
Devemos fazer esse cálculo pra condições diferentes, quando varia de a , a e a .
Já quando é pedido a taxa de variação instantânea, vamos derivar a função e substituir por .
E no ultimo item, vamos mostrar que a derivada da esfera é igual sua aera superficial.
Veja só!
Passo 2
Vamos aplicar a formulinha que vimos no passo 1
Primeiro para variando de a
Agora para variando de a
Por ultimo, para variando de a
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Na letra (b) vamos calcular a taxa de variação instantânea do volume, que é dado pela derivada de em relação ao raio:
Se , então
Agora calculamos :
Bacana, não é?
Passo 4
Agora a gente tem que provar que a taxa de variação do volume de uma esfera em relação a seu raio é igual a área de sua superfície.
A área de superfície de uma esfera é:
No passo anterior vimos que:
Show?
Passo 5
Agora vamos mostrar geometricamente que esse resultado é verdadeiro! Para isso vamos calcular o fazendo:
Substituindo:
Quando for muito pequeno, temos que . Daí:
Logo,
Exatamente o que a gente achou calculando a derivada do volume!
É isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
i)
ii)
iii)
Desenvolvimento acima.