Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 10
Uma massa pesando estica um mola de . A massa está presa a um amortecedor viscoso com constante de amortecimento de . Se a massa for colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade para baixo de , encontre sua posição em qualquer instante . Faça o gráfico de em função de . Determine quando a massa retorna pela primeira vez à sua posição de equilíbrio. Encontre, tambpem, o instante que polegadas para todo .
Passo 1
Da Eq.(21) temos que vibrações livres amortecidas são dada por
Onde é a massa, está relacionado com a resistência e a constante do material.
Assim como já resolvemos outras vezes, tome como solução tendo como solução característica
Com
Passo 2
Vamos lá
Com as informações dada, temos que
Lembrando que e , na qual
Assim podemos escrever nossa equação diferencial como
Multiplicando tudo por apenas para melhorar a cara da nossa equação, ficamos com
O que torna um pouco mais fácil de resolver nosso problema.
Se tomarmos como solução temos como equação característica
Com solução
Onde teremos
Que podemos escrever como
Passo 3
Agora vamos olhar prara nossas conuções iniciais. e
Assim temos
O que nos da
Assim temos então
Que resulta em uma gráfico
Agora olhando para nossa solução, temos que a frequência é definida como
Passo 4
Para sabermos quando a massa retorna pela primeira vez a posição de equilíbrio, temos que fazer quando para , ou seja
Que somente será zero quando
Assim temos que
E baseado no gráfico, temos que