Enunciado

Uma massa pesando 16   l b   ( ≈ 7 k g ) estica um mola de 3   i n   ≈ 7,5   c m . A massa está presa a um amortecedor viscoso com constante de amortecimento de 2   l b × s / f t . Se a massa for colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade para baixo de 3   i n / s , encontre sua posição s em qualquer instante t . Faça o gráfico de s em função de t . Determine quando a massa retorna pela primeira vez à sua posição de equilíbrio. Encontre, tambpem, o instante τ que s t < 0,01 polegadas para todo t > τ .

Passo 1

Da Eq.(21) temos que vibrações livres amortecidas são dada por

m s ' ' + γ s ' + k s = 0

Onde m é a massa, γ está relacionado com a resistência e k a constante do material.

Assim como já resolvemos outras vezes, tome como solução s = e r t tendo como solução característica

m r 2 + γ r + k = 0

Com

r = - γ ± γ 2 - 4 k m 2 m

Passo 2

Vamos lá

Com as informações dada, temos que

k =   P x 0 = 16   l b ( 1 / 4   f t ) = 64   l b / f t

Lembrando que 12   i n = 1   f t e P = m g , na qual g = 32   l b ⋅ s 2 / f t

Assim podemos escrever nossa equação diferencial como

m s ' ' + γ s ' + k s = 1 2 s ' ' + 2 s ' + 64 s = 0

Multiplicando tudo por 2 apenas para melhorar a cara da nossa equação, ficamos com

s ' ' + 4 s ' + 128 s = 0

O que torna um pouco mais fácil de resolver nosso problema.

Se tomarmos como solução s = e r t temos como equação característica

r 2 + 4 r + 1 28 = 0

Com solução

r = - - 2 ± 2 31 i

Onde teremos

s = c 1 e ( - 2 + 2 31 i ) t + c 2 e ( - 2 - 2 31 i ) t = e - 2 t c 1 e 2 31 i t + c 2 e - 2 31 i t

Que podemos escrever como

s = e - 2 t A cos ⁡ 2 31 t + B   s e n   2 31 t

Passo 3

Agora vamos olhar prara nossas conuções iniciais. s 0 = 0   c m e s ' 0 = 1 / 4

Assim temos

e - 2 ⋅ 0 A cos ⁡ 2 31 ⋅ 0 + B   s e n   2 31 ⋅ 0 = 0 - 2 e - 2 ⋅ 0 A cos ⁡ 2 31 ⋅ 0 + B   s e n   2 31 ⋅ 0 + 2 31 e - 2 ⋅ 0 [ - A sen ⁡ 2 31 ⋅ 0 + B   c o s   2 31 ⋅ 0 ] = 1 / 4

O que nos da

A = 0 B = 1 / 8 31

Assim temos então

s = e - 2 t 1 8 31 s e n   2 31 t  

Que resulta em uma gráfico

Agora olhando para nossa solução, temos que a frequência μ é definida como

μ = 2 31

Passo 4

Para sabermos quando a massa retorna pela primeira vez a posição de equilíbrio, temos que fazer quando s t = 0 para t ≠ 0 , ou seja

e - 2 t 1 8 31 s e n   2 31 t = 0

Que somente será zero quando

s e n   2 31 t = 0

Assim temos que

2 31 t = π → t > τ = π 2 31

E baseado no gráfico, temos que s t < 0,01 → t ≥ τ = 0,2145

Resposta

s = e - 2 t 1 8 31 s e n   2 31 t  

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