Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 11
Uma mola é esticada por uma força de . Uma massa de é pendurada na mola e presa a um amortecedor viscoso que exerce uma força de quando a velocidade da massa é de . Se a massa for puxada abaixo de sua posição de equilíbrio e receber uma velocidade inicial para baixo de , determine sua posição em qualquer instante . Encontre a quase frequência e a razão entre e a frequência natural do movimento correspondente sem amortecimento.
Passo 1
Da Eq.(21) temos que vibrações livres amortecidas são dada por
Onde é a massa, está relacionado com a resistência e a constante do material.
Assim como já resolvemos outras vezes, tome como solução tendo como solução característica
Com
Passo 2
Vamos lá
Com as informações dada, temos que
A viscosidade é dada por , ou seja, olhando para nosso enunciado, temos que
Detsa forma, temos que nossa equação diferencial é dada por
Que pode ser escrita como
O que torna um pouco mais fácil de resolver nosso problema.
Se tomarmos como solução temos como equação característica
Com solução
Onde teremos
Onde
Que podemos escrever como
Passo 3
Agora vamos olhar prara nossas conuções iniciais. e
Assim temos
O que nos da
Assim temos então
Passo 4
Se não houvesse amortecimento, então teríamos
Que teríamos
Assim