Enunciado

Uma massa pesando 8   l b   ≈ 3,6   k g estica uma mola de 1,5   i n   ≈ 3,8   c m . A massa também está presa a um amortecedor com coeficiente γ . Determine o valor de γ para o qual o sistema tem amortecimento crítico; certifique-se de colocar as unidades de γ .

Passo 1

Queremos primeiramente escrever nossa equação diferencial que dever ser a seguinte cara

m s ' ' + γ s ' + k s = 0

O que fazendo s = e r t como solução, nos dar condição de analisar γ . Lembrando que quando estivermos analisando a equação característica, temos que Δ > 0 (supercrítico), Δ < 0 (subcrítico) e Δ = 0 (crítico) são os tipos de amortecimento.

Passo 2

Seja k = P / x 0 , na qual P é o peso da massa e x 0 é o deslocamento na posição de equilíbrio.

Assim

k = 8   l b 1,5   i n = 8   l b 1 / 8   f t = 64   l b / f t

Lembrando que 12   i n = 1   f t e g = 32   l b ⋅ s 2 / f t

Assim

1 4 s ' ' + γ s ' + 64 s = 0

Que nos dá uma equação característica de

r 2 + 4 γ r + 256 = 0

Passo 3

Resolvendo nosso problema, temos

r = - 4 γ ± 16 γ 2 - 1024 2

E como falando no passo 1, queremos a situação onde

16 γ 2 - 1024 = 0

Assim temos

γ = 64 = 8

Resposta

γ = 64 = 8   l b ⋅ s / f t

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