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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 24

A posição de um determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial

3 2 s ' ' + k s = 0 ,         s 0 = 2 ,         s ' 0 = v

Se for observado que o período e a amplitude do movimento resultante são π e 3 , respectivamente, determine os valores de k e v

Passo 1

Esse é o tipo de equação que estamos mais do que cansado de ver. Se escrevermos ela como

s ' ' + 2 3 k s = 0

Já sabemos que ela tem solução

s t = A cos ⁡ 2 3 k t + B   s e n   2 3 k t

E assim podemos partir dela para resolver nosso problema

Passo 2

Primeiro vamos calcular s ' ( t ) , assim

s ' t = 2 3 k B cos ⁡ 2 3 k t - A   s e n   2 3 k t

E agora aplicando as condições iniciais

s 0 = A = 2

E

s ' 0 = 2 3 k B = v

Assim

B = 3 2 k v

Ficando com

s t = 2 cos ⁡ 2 3 k t + 3 2 k v   s e n   2 3 k t

Passo 3

Agora, se o período e a amplitude são respectivamente π e 3 , então

T = 2 π ω 0

Onde ω 0 = 2 k / 3

Então

T = 2 π 3 2 k = π

Assim

3 2 k = 1 2

Elevando ambos os lados ao quadrado

3 2 k = 1 4 → 3 k = 1 2 → k = 6

Assim já achamos nosso primeiro valor solicitado

Para achar a amplitude, temos que resumir nossa função em R   s e n   ω 0 t + δ

Se abrimos nossa função temos

R   s e n   ω 0 t + δ = R   s e n   ω 0 t cos ⁡ δ + R cos ⁡ ω 0 t s e n δ

Onde fazendo uma relação com nossa solução com essa equação, temos

R cos ⁡ δ = 2 R   s e n   δ = 3 2 k v

Onde R é nossa amplitude

Elevando os dos termos ao quadrado e somando

R cos ⁡ δ 2 + R   s e n   δ 2 = 4 + v 2 4 = R 2

Se R = 3

v 2 4 = 9 - 4 = 5

Assim

v = ± 2 5

Resposta

k = 6

v = ± 2 5

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