Use a substituição do exercício 57 para transformar o integrando em uma função racional de t e então calcule a integral.

∫ 1 3 - 5   s e n   x   d x

Passo 1

No exercício 57 vimos que a substituição

t = t g   x 2

é equivalente a

cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2     e     s e n   x = 2 t 1 + t 2

e, além disso,

d x = 2 1 + t 2   d t

Vamos usar essa substituição para resolver a integral. Assim, o integrando ficará

1 3 - 5   s e n   x   d x = 1 3 - 10 t 1 + t 2 ⋅ 2 1 + t 2 d t = 2 3 t 2 - 10 t + 3   d t

Assim,

1 3 - 5   s e n   x = 2 3 ⋅ 1 t - 1 3 t - 3   d t

Passo 2

Desta forma,

∫ 1 3 - 5   s e n   x   d x = 2 3 ∫ 1 t - 1 3 t - 3   d t

Fazendo a decomposição:

1 t - 1 3 t - 3 = A t - 1 3 + B t - 3 = A t - 3 A + B t - B 3 t - 1 3 ( t - 3 )

Assim, A + B = 0 ⇒ A = - B e - 3 A - B 3 = 1 ⇒ - 3 A + A 3 = 1 ⇒ - 9 A + A = 3 ⇒ A = - 3 / 8 . Assim, B = 3 / 8 . Portanto,

2 3 ∫ 1 t - 1 3 t - 3   d t = 1 4 ∫ 1 t - 3 - 1 t - 1 3 d t = 1 4 ln ⁡ | t - 3 | - 1 4 ln ⁡ t - 1 3 + C

Passo 3

Voltando a variável x :

∫ 1 3 - 5   s e n   x   d x = 1 4 ln ⁡ t g   x 2 - 3 - 1 4 ln ⁡ t g   x 2 - 1 3 + C

Resposta

1 4 ln ⁡ t g   x 2 - 3 - 1 4 ln ⁡ t g   x 2 - 1 3 + C

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