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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 58

Use a substituição do exercício 57 para transformar o integrando em uma função racional de t e então calcule a integral.

∫ 1 3 - 5   s e n   x   d x

Passo 1

No exercício 57 vimos que a substituição

t = t g   x 2

é equivalente a

cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2     e     s e n   x = 2 t 1 + t 2

e, além disso,

d x = 2 1 + t 2   d t

Vamos usar essa substituição para resolver a integral. Assim, o integrando ficará

1 3 - 5   s e n   x   d x = 1 3 - 10 t 1 + t 2 ⋅ 2 1 + t 2 d t = 2 3 t 2 - 10 t + 3   d t

Assim,

1 3 - 5   s e n   x = 2 3 ⋅ 1 t - 1 3 t - 3   d t

Passo 2

Desta forma,

∫ 1 3 - 5   s e n   x   d x = 2 3 ∫ 1 t - 1 3 t - 3   d t

Fazendo a decomposição:

1 t - 1 3 t - 3 = A t - 1 3 + B t - 3 = A t - 3 A + B t - B 3 t - 1 3 ( t - 3 )

Assim, A + B = 0 ⇒ A = - B e - 3 A - B 3 = 1 ⇒ - 3 A + A 3 = 1 ⇒ - 9 A + A = 3 ⇒ A = - 3 / 8 . Assim, B = 3 / 8 . Portanto,

2 3 ∫ 1 t - 1 3 t - 3   d t = 1 4 ∫ 1 t - 3 - 1 t - 1 3 d t = 1 4 ln ⁡ | t - 3 | - 1 4 ln ⁡ t - 1 3 + C

Passo 3

Voltando a variável x :

∫ 1 3 - 5   s e n   x   d x = 1 4 ln ⁡ t g   x 2 - 3 - 1 4 ln ⁡ t g   x 2 - 1 3 + C

Resposta

1 4 ln ⁡ t g   x 2 - 3 - 1 4 ln ⁡ t g   x 2 - 1 3 + C

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Calcule a integral definida. ∫ 2 1 1 x 3 x 2 + 4 3d x
Mostre que a fórmula (2) desta secção é equivalente à fórmula ∫ sec ⁡ xd x = ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + C . (Sugestão: multiplique o numerador e o denominador sob o radical por ( 1 + s e nx ) .)
Calcule a integral ∫ tan ⁡ 1 2 x s e nxd x por dois métodos: (a) tomando z = tan ⁡ 1 2 x ; (b) tomando u = 1 2 x e obtendo uma integral envolvendo funções trigonométricas de u .
Use a substituição dessa secção, z = tan ⁡ 1 2 x para mostrar que ∫ s e nxd x = - cos ⁡ x + C .
Calcule a integral definida. ∫ 0 π / 2 s e n2 x 1 + cos ⁡ xd x