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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 32

Localizando um radiotelescópio Você está encarregado de

montar um radiotelescópio em um planeta recém-descoberto.

Para minimizar interferências, você deseja posicioná-lo onde

o campo magnético do planeta é mais fraco. O planeta é esfé-

rico, com um raio de 6 unidades. Com base em um sistema de

coordenadas cuja origem seja no centro do planeta, a intensidade

do campo magnético é fornecida por M(x, y, z) = 6x – y2 + xz + 60.

Onde você deve posicionar o radiotelescópio?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, nos é exposto um caso em que queremos observar um planeta esférico com raio r = 6 unidades, e queremos também minimizar o efeito do campo magnético do planeta cuja coordenada é dada pela função M ( x , y , z ) = 6 x - y 2 + x y + 60 . Encontraremos, então, qual a coordenada cujo efeito do campo magnético é menor para o telescópio ser colocado. Vamos lá!

Passo 2

Começaremos encontrando os gradientes das funções e em seguida aplicaremos o método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ M = ( 6 + z ) i - 2 y j + x k ∇ g = 2 x i + 2 y j + 2 z k

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange teremos:

∇ M = λ ∇ g   ( 6 + z ) i - 2 y j + x k = λ ( 2 x i + 2 y j + 2 z k )

Agora, separando as componentes:

6 + z = 2 x λ   - 2 y = 2 y λ . x = 2 z λ

Observamos que λ = - 1 ou y = 0 .

Passo 3

Caso 1: se λ = - 1 , então:

6 + z = - 2 x x = - 2 z

Agora, usando o valor de x na primeira equação:

6 + z = - 2 ( - 2 z ) z = 2

Passo 4

Voltando à equação x = - 2 z , encontraremos x = - 4 .Usando os valores encontrados na esfera de 6 unidades, temos:

  ( - 4 ) 2 + y 2 + 2 2 - 36 = 0 y = ± 4

Caso 2: Se y = 0 , então:

6 + z = 2 x λ x = 2 z λ

Chegando a λ = x 2 z .

Passo 5

Novamente em 6 + z = 2 x λ :

6 + z = 2 x x 2 z 6 z + z 2 = x 2

Agora, usaremos o valor encontrado na esfera de 6 unidades:

6 z + z 2 + 0 2 + z 2 = 36 z = - 6  ou  z = 3

Se z = - 6 , então x 2 = 0 o que leva a x = 0 .Se z = 3 , então x 2 = 27 o que leva a x = ± 3 3 .Tempos então os pontos ( ± 3 3 , 0,3 ) , ( 0,0 , - 6 ) , ( - 4 , ± 4,2 ) .

M ( 3 3 , 0,3 ) = 27 3 + 60 ≈ 106,8 M ( - 3 3 , 0,3 ) = 60 - 27 3 ≈ 13,2 M ( 0,0 , - 6 ) = 60 M ( - 4,4 , 2 ) = 12 = M ( - 4 , - 4,2 )

Resposta

Portanto, o campo magnético mais fraco acontece em ( - 4 , ± 4,2 ) .

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