Se f_med[a, b] denota o valor médio de f no intervalo [a, b] e a < c < b , mostre que

f_med[a, b] = (c - a) / (b - a) * f_med[a, c] + (b - c) / (b - a) * f_med[c, b]

Passo 1

Para achar o valor médio, vamos lembrar o seguinte: Se f é contínua em [ a , b ] , então existe um número f em [ a , b ] tal que:

f c = f med a , b = 1 b - a ∫ a b f x d x

Vamos partir disso e desenvolver.

f med a , b = 1 b - a ∫ a b f x d x = f med = 1 b - a ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x ⏞ ∫ a b f x d x

= 1 b - a ∫ a c f x d x + 1 b - a ∫ c b f x d x

Agora vou multiplicar e dividir por c - a a primeira integral e b - c a segunda.

f med a , b = c - a b - a ⋅ 1 c - a ∫ a c f x d x ⏟ f med a , c + b - c b - a ⋅ 1 b - c ∫ c b f x d x ⏟ f med c , b

f med a , b = c - a b - a ⋅ f med a , c + b - c b - a ⋅ f med c , b

Pronto! Está demonstrado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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