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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.5 - Ex. 22

Se um corpo em queda livre parte do repouso, então o seu deslocamento é dado por s = 1 2 g t ² . Seja v t a velocidade após um tempo T . Mostre que, se calcularmos a média das velocidades em relação a t , obteremos v m é d i o = 1 2 v r , mas se calcularmos a média das velocidades em relação a s , teremos v m é d i o = 2 3 v r .

Passo 1

s = 1 2 g t 2 → t = 2 s g ,   t ≥ 0

Agora, com v = d s d t = g t = g 2 s g = 2 g s → v 2 = 2 g s → s = v 2 2 g .

Passo 2

Vemos que v pode ser considerado como uma função de t ou de s : v = F t = g t e v = G s = 2 g s . Note que v t = F T = g T .

O deslocamento pode ser visto como uma função de t :   s = s t = 1 2 g t ² ; além disso, temos s t = v 2 2 g = F t 2 2 g .

Quando t = T , essas duas fórmulas para s ( t ) implicam que

2 g s ( T ) = F T = v T = g T = 2 1 2 g T 2 T = 2 s T T

Passo 3

A média das velocidades com respeito ao tempo t durante o intervalo [ 0 , T ] é

v t - m é d i o = F m é d i o = 1 T - 0 ∫ 0 T F t d t = 1 T s T - s 0

Assim, temos que

v t - m é d i o = s T T = 1 2 v r

desde que s 0 = 0 .

Mas a média das velocidades com respeito ao deslocamento s durante o deslocamento correspondente no intervalo s 0 ,   s T = [ 0 , s T ] é

v s - m é d i o = G m é d i o = 1 s T - 0 ∫ 0 s T G s d s = 1 s T ∫ 0 s T 2 g s d s = 2 g s T ∫ 0 s T s 1 2 d s =

2 g s T 2 3 s 3 2 0 s T = 2 3 2 g s T s T 3 2 = 2 3 2 g s T = 2 3 v T  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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