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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.18 - Ex. 12

Determinar a massa e o centro de massa de uma barra que está localizada sobre o eixo dos x com extremos nos pontos x = 0 e x = 1 . A densidade linear da barra é dada por ρ x = e x .

Passo 1

Relembrando dos exercícios anteriores, temos que d m = λ ∙ d x . Integrando ambos os lados da sentença, vamos obter:

M = ∫ 0 1 ρ x ∙ d x

E os limites de integração, como já explicitados, de 0 a 1. Com ρ x = e x , vamos ter, para essa integral, o seguinte:

M = ∫ 0 1 e x ∙ d x

M = e x 0 1

M = e 1 - e 0

∴ M = e - 1

Passo 2

O centro de massa, x - , é dado a partir da seguinte integral:

x - = 1 M ∙ ∫ x ∙ ρ x ∙ d x

Pro nosso caso, conhecendo a função ρ x = e x , e o limite de integração, teremos:

x - = 1 M ∙ ∫ 0 1 x ∙ e x ∙ d x

Usando o método da integração por partes, que você talvez já conheça, teremos o seguinte:

∫ u ∙ d v = u ∙ v - ∫ v ∙ d u

Onde u = x ; d v = e x ∙ d x ; v = e x ; d u = 1 ∙ d x . Fazemos as substituições e teremos:

∫ x ∙ e x = x ∙ e x - ∫ e x ∙ d x

∫ x ∙ e x = x ∙ e x - e x

Podemos agora retornar à fórmula para o centro de massa:

x - = 1 M ∙ ∫ 0 1 x ∙ e x ∙ d x ≡ 1 e - 1 ∙ x ∙ e x - e x 0 1

x - = 1 e - 1 ∙ ( 1 ∙ e 1 - e 1 - 0 ∙ e 0 - e 0 )

x - = 1 e - 1 ∙ ( e 1 - e 1 + 1 )

∴ x - = 1 e - 1

Resposta

∴ M = e - 1

∴ x - = 1 e - 1

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