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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.18 - Ex. 10

Uma barra localizada sobre o eixo dos x tem extremos x = 0 e x = 4 . Se a densidade linear é dada por ρ x = 1 x + 1 , determinar a massa e o centro de massa da barra.

Passo 1

Para determinar a massa, nós usamos a seguinte expressão com integral:

M = ∫ 0 4 ρ x ∙ d x

Em que o limite de integração vai de 0 a 4, os extremos da dimensão da barra. Agora, só precisamos integrar, com a expressão da função ρ x . Teremos:

M = ∫ 0 4 1 x + 1 ∙ d x

M = ln ⁡ x + 1 0 4

∴ M = ln ⁡ 5   u . m .

Como o exercício não especifica a unidade de medida para a massa, utilizamos u . m . , unidades de massa genéricas.

Passo 2

O centro de massa, x - , é dado a partir da seguinte integral:

x - = 1 M ∙ ∫ x ∙ ρ x ∙ d x

Conhecendo ρ x , podemos fazer a integração.

x - = 1 ln ⁡ 5 ∙ ∫ 0 4 x ∙ 1 x + 1 ∙ d x

x - = 1 ln ⁡ 5 ∙ ∫ 0 4 1 - 1 x + 1 ∙ d x

x - = 1 ln ⁡ 5 ∙ ∫ 0 4 d x - ∫ 0 4 1 x + 1 ∙ d x

x - = 1 ln ⁡ 5 ∙ x 0 4 - 1 ln ⁡ 5 ∙ ln ⁡ x + 1 0 4

x - = 4 ln ⁡ 5 - ln ⁡ 5 ln ⁡ 5

∴ x - = 4 ln ⁡ 5 - 1

Resposta

∴ M = ln ⁡ 5   u . m .

∴ x - = 4 ln ⁡ 5 - 1

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