Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 20
Determine os valores extremos de na região descrita pela desigualdade.
Passo 1
Oii, tudo bem?? Bom... o enunciado nos deu essa funçãozinha:
Queremos determinar os valores extremos da função sujeita a seguinte desigualdade:
A gente pode transformar essa expressão em uma função passando todo mundo para um lado da igualdade (já já você vai entender hehe):
Para determinarmos os valores, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!
Mas que método é esse???
Então... para determinar os valores máximo e mínimo de sujeitos à restrição (supondo que esses valores extremos existam e que sobre a superfície ), então:
Esse é o nosso multiplicador de Lagrange!!!
Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de (ou seja, ) e depois os de (ou seja, ).
Em seguida, iremos calcular o valor de utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição encontraremos os valores de máximo e mínimo!!!
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!
Primeiro vamos para a função :
Para calcular o gradiente , basta aplicarmos as derivadas parciais!!
Derivando em relação a , aplicando a regra da potência, temos:
De forma análoga, derivando em relação a :
Assim, nosso gradiente é:
Perceba que se igualarmos a zero cada uma das coordenadas, obteremos:
E
Logo, o ponto é um ponto crítico.
Passo 3
Agora vamos para a função :
Derivando com relação a , aplicando a regra da potência, obtemos:
Derivando em relação a de forma análoga:
Assim, nosso gradiente é:
Passo 4
Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um que satisfaça a equação.
Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:
Daí, vamos tirar que:
Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉
Passo 5
Observe que aqui o que acontece quando vamos resolver a segunda expressão:
Nesse caso, temos que .
Para , ao aplicar em , temos:
Com isso, obtemos mais dois pontos críticos:
e
Passo 6
E, para , ao aplicar na primeira expressão do nosso sistema, obtemos:
E, substituindo esse valor em , teremos:
Com isso, obtemos outros pontos críticos:
Pronto, agora vamos aplicar todos esses pontos críticos em para encontrar os valores de máximo e mínimo!!! 😉
Passo 7
Para o ponto , temos:
Para o ponto , temos:
Para o ponto , temos:
Para os pontos , temos:
Assim, ao comparar os valores, podemos concluir que teremos ponto de máximo em:
E ponto de mínimo em:
Resposta
Ponto de máximo em:
E ponto de mínimo em: