Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação.

(1 - x^2) ⋅ y'' - 2 ⋅ x ⋅ y' + α ⋅ (α + 1) ⋅ y = 0

Passo 1

Para resolvermos, vamos analisar e rearranjar a equação, quando necessário na forma

y ' ' + p x y ' + q t y = 0

onde poderemos utilizar a forma do wronskiano em que aparece a integral, escrito da seguinte forma

W = C ⋅ e - ∫ p x d t

Passo 2

Aplicando o método mostrado no passo 1, temos que não será necessário nem reorganizar nossa EDO, conseguimos identificar perfeitamente nosso p x = - 2 ⋅ x 1 - x 2 . Substituindo no wronskiano, temos então que:

W = C ⋅ e - ∫ - 2 ⋅ x 1 - x 2 d x

Aplicando a transformação u = 1 - x 2 , teremos que d u = - 2 ⋅ x . Substituindo na integral, teremos que

W = C ⋅ e - ∫ d u u d u = C ⋅ e - ln ⁡ u = C ⋅ u - 1 = C ⋅ 1 - x 2 - 1  

E esse é o nosso wronskiano a menos de uma constante

Resposta

W = C ⋅ 1 - x 2 - 1

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