Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 17
17 - A equação de movimento de um sistema mola-massa com amortecimento (veja a Seção 3.7) é
em que m, c e k são positivos. Escreva essa equação de segunda ordem como um sistema de
duas equações de primeira ordem para ,. Mostre que é um ponto crítico e analise a estrutura e a estabilidade do ponto crítico em função dos parâmetros m, c e k. Uma análise semelhante pode ser aplicada à equação do circuito elétrico (veja a Seção 3.7)
Passo 1
A equação de movimento dada é:
Seja .
Então .
Assim, tome .
Então,
Passo 2
Portanto, o sistema fornecido pode ser reduzido a um sistema de duas equações de primeira ordem:
E .
Este sistema nos dá o sistema algébrico:
Passo 3
Deixei
Então a equação pode ser escrita como:
Sabemos que o ponto crítico é tal que .
Portanto, o ponto crítico é .
Passo 4
Tenhamos .
Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.
Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.
Então os autovalores são .
Passo 5
Agora surgem três casos.
CASO 1:
Quando
Então, ambos os autovalores são iguais, com sinais negativos e, portanto, o ponto crítico é um nó impróprio assintoticamente estável.
Passo 6
CASO 2:
Quando
Então os autovalores são números complexos com parte real negativa e, portanto, o ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.
Passo 7
CASO 3:
Quando
Então os autovalores são reais, desiguais e negativos e, portanto, o ponto crítico é o nó assintoticamente estável.
Resposta
CASO 1:
Quando
Então, ambos os autovalores são iguais, com sinais negativos e, portanto, o ponto crítico é um nó impróprio assintoticamente estável.
CASO 2:
Quando
Então os autovalores são números complexos com parte real negativa e, portanto, o ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.
CASO 3:
Quando
Então os autovalores são reais, desiguais e negativos e, portanto, o ponto crítico é o nó assintoticamente estável.