Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.7 - Ex. 1
Em cada um dos problemas de 1 a 6, um sistema autônomo está expresso em coordenadas polares. Determine todas as soluções periódicas, todos os ciclos limites e suas características de estabilidade.
Passo 1
Beleza! Vamos começar encontrando os pontos críticos da equação dada, então, temos:
Daqui temos duas possibilidades:
Então, temos 3 pontos críticos, são eles:
No entanto, como não podemos ter um círculo com raio negativo, para temos:
Passo 2
Então, teremos:
Dessa forma, temos que corresponde a um ponto crítico instável. Já no ponto temos um ponto assintoticamente estável.
Passo 3
E, o ciclo limite por sua vez é dado por:
Então, teremos:
Que é assintoticamente estável.
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Neste problema, vamos examinar a diferença de fase entre as variações cíclicas das populações de predadores e de presas dadas pelas Eqs. (24) desta seção. Vamos supor que K0 e que o tempo t é medido a
10. Considere o sistema linear ( i i ) .Reprodução da equação: d x / d t = a 11 x + a 12 yed y / d t = a 21 x + a 22 y (a) Como ( 0 ,0 ) é um ponto crítico assintoticamente estável, mostre que a 11+a
11. Neste problema, vamos mostrar que a função de Liapunov construída no problema precedente também é uma função de Liapunov para o sistema localmente linear ( i ) . Precisamos mostrar que existe algu
12. Neste problema, vamos provar uma parte do Teorema 9.3.2 relativa à instabilidade.(a) Mostre que, se a 11+a 220 e a 11 a 22–a 12 a 210 , então o ponto crítico do sistema linear ( i i ) é instável.(
14.(a) Examinando os gráficos de u em função de t nas Figuras 9.7.3, 9.7.5 e 9.7.7, estime o período T do oscilador de van der Pol nesses casos.(b) Calcule e faça o gráfico das soluções da equação de