2- Uma mola com uma massa de 4   k g tem um comprimento natural de 1   m e é mantida esticada até um comprimento de 1.3   m por uma força de 24.3   N . Se a mola for comprimida até um comprimento de 0.8   m e for solta com velocidade zero, determine a posição da massa em qualquer instante t .

Passo 1

A constante elástica da mola vale:

F = k Δ x

24.3 = K × 1.3 - 1 → K = 81 N m

Então a equação de movimento dessa mola pode ser escrita como:

m x ¨ + c x ˙ + k x = 0

Como não temos amortecimento então c = 0 :

4 x ¨ + 81 x = 0

Então pela equação auxiliar abaixo teremos as seguintes raízes complexas:

4 r 2 + 81 = 0 → r = ± 9 2 i

Com α = 0 e β = 9 2

Passo 2

Dessa forma a solução dessa E D O vale:

x = c 1 s e n 9 t 2 + c 2 cos ⁡ 9 t 2

As condições iniciais dadas no problema são:

x 0 = - 0.2

x ˙ 0 = 0

Pois o referencial de um sistema massa mola começa no ponto de equilíbrio do sistema massa-mola.

Substituindo o ponto x ( 0 ) temos:

- 0.2 = c 1 s e n   0 + c 2 cos ⁡ 0

c 2 = - 0.2

Agora x ˙   será:

x ˙ = 9 2 c 1 cos ⁡ 9 t 2 - 9 2 c 2   s e n   9 t 2  

Aplicando x ˙ 0 temos:

0 = 9 2 c 1 cos ⁡ 0 → c 1 = 0

Dessa forma a equação de movimento será:

x = - 0.2 cos ⁡ 9 t 2

Resposta

x = - 0.2 cos ⁡ 9 t 2

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