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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 30

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

30-

∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 x 2 + y 2 3 2   d x   d y

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos entender o que a questão quer.

Ela quer que a gente calcule a integral

∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 x 2 + y 2 3 2   d x   d y

mudando x , y para coordenadas polares.

Que da definição de coordenadas polares, temos que

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Portanto, vamos primeiro fazer a mudança de coordenadas, depois iremos calcular os novos limites de integração e finalmente calcular a integral.

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Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de coordenadas. Como

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

E a integral

∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 x 2 + y 2 3 2   d x   d y

possui

x 2 + y 2

Vamos calcular x 2 , y 2 e depois somar eles.

Começando com x 2 :

x = r cos ⁡ θ

x 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ

E agora y 2 :

y = r sen ⁡ θ

y 2 = r 2 sen 2 ⁡ θ

Somando os dois

x 2 + y 2 =   r 2 cos 2 ⁡ θ +   r 2 sen 2 ⁡ θ

x 2 + y 2 =   r 2 ( sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ )

Usando a propriedade trigonométrica

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Temos que

x 2 + y 2 = r 2

Então, a integral fica:

∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 r 2 3 2   d x   d y

Multiplicando as potências

∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 r 3   d x   d y

Agora trocaremos aquele d y d x pelo seu equivalente em coordenadas polares, que é

d x d y = d r d θ

Temos então:

∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 r 3   d r   d θ

Como fizemos a substituição das coordenadas, não podemos esquecer de multiplicar o que está dentro da integral pelo jacobiano, que no caso das coordenadas polares, é sempre r !

∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 r . r 3   d r   d θ

∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 r 4   d r   d θ

Passo 3

Agora, vamos trocar os limites de integração começando por x .

Pela integral original

∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 x 2 + y 2 3 2   d x   d y

Conseguimos ver que a integral mais interna está em relação à d x , então

0 ≤ x ≤ a 2 - y 2

Transformando esse intervalo para coordenadas polares, sendo

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

nós teremos:

0 ≤ r c o s   θ ≤ a 2 - r 2 sin 2 ⁡ θ

Dessa forma o menor valor de r será 0 e o maior será:

r c o s   θ = a 2 - r 2 sin 2 ⁡ θ

Queremos encontrar r , então vamos tentar isolar ele.

r c o s   θ = a 2 - r 2 sin 2 ⁡ θ

Elevando ao quadrado em ambos os lados

r 2 cos 2 ⁡ θ = a 2 - r 2 sin 2 ⁡ θ

Isolando r :

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ = a 2

Colocando-o em evidência:

r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) = a 2

aplicando a propriedade trigonométrica

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Temos

r 2 = a 2

r = a

Pois queremos apenas o valor positivo dele.

Portanto,

0 ≤ r ≤ a

Passo 4

Achando o intervalo em y agora.

Da integral original:

∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 x 2 + y 2 3 2   d x   d y

Notamos que a integral de fora, que está relacionada com d y , possui o intervalo:

- a ≤ y ≤ a

Sendo

y = r sen ⁡ θ

Em coordenadas polares será igual a:

- a ≤ r sin ⁡ θ ≤ a

Como achamos que r = a no passo anterior, temos:

- a ≤ a sin ⁡ θ ≤ a

Dividindo tudo por a :

- 1 ≤ sin ⁡ θ ≤ 1

Logo θ varia de:

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Passo 5

Vamos montar a integral agora.

Por enquanto, temos

∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 r 4   d r   d θ

Colocando os limites

0 ≤ r ≤ a

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Ficamos com:

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 a r 4 d r   d θ

Passo 6

Resolvendo a integral:

Primeiro em relação à d r , pois ele é a variável que está dentro:

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 a r 4 d r   d θ = 1 5 ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 a r 5 0 a d r   d θ

1 5 ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 a r 5 0 a d r   d θ = 1 5 ∫ - π 2 π 2 a 5 d θ

Resolvendo a integral restante, que é em relação à d θ :

1 5 ∫ - π 2 π 2 a 5 d θ = a 5 5 θ - π 2 π 2

a 5 5 θ - π 2 π 2 = a 5 5 π 2 - - π 2

a 5 5 π 2 - - π 2 = a 5 5 π 2 + π 2

a 5 5 π 2 + π 2 = a 5 π 5

Pronto!

Resposta

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 a r 4 d r   d θ = π a 5 5

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Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∫ ∫ R x + yd A , onde R é a região que está a esquerda do eixo y e entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.13. ∬ R a r c t gy xd A Onde R = x , y1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,0 ≤ y ≤ x } .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.Um laço de rosácea r = cos ⁡ 3 θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ De - x 2 - y 2d A , onde D é a região delimitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y .