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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 75

Momento de inércia de um cone sólido Encontre o momento de inércia de um cone circular reto com raio de base a

e altura h em relação ao seu eixo. (Sugestão: situe o cone com

seu vértice na origem e seu eixo ao longo do eixo z.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos calcular o momento de inércia em coordenadas cartesianas, certo? Como r é a distância do ponto ( x , y , z ) na região D a uma reta L , então o momento de inércia ou segundos momentos dependem da densidade.Vamos aplicar esses conceitos e as fórmulas em coordenadas cilíndricas?

Passo 2

Neste exercício sabemos que o cone circular reto tem um raio a e altura h em relação ao seu eixo. Colocaremos o cone com vértice na origem e o seu eixo ao longo do eixo z .Agora podemos começar os cálculos!

Passo 3

Os limitantes das integrais podem ser dados por:O valor de r é definido pelo raio:

0 ≤ r ≤ a

O intervalo de z é definido pela altura em relação ao raio do cone:

h ≤ z ≤ h a r

Por fim, temos o ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo z :

I z   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 a     ∫ ( h / a r h     x 2 + y 2 d z r d r d θ   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 a     ∫ ( h / a r h     r 3 d z d r d θ   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 a     h r 3 - h r 4 a d r d θ   = ∫ 0 2 π     h r 4 4 - r 5 5 a 0 a d θ   = ∫ 0 2 π     h a 4 4 - a 5 5 a d θ

Resolvendo a última integral teremos:

I z   = h a 4 20 ∫ 0 2 π     d θ   = π h a 4 10

Resposta

Então, o momento de inércia procurado nesta questão é I z = π h a 4 10 .

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