Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 53

Cilindro e paraboloide Encontre o volume da região delimitada inferiormente pelo plano z = 0, lateralmente pelo cilindro

x2 + y2 = 1 e superiormente pelo paraboloide z = x2 + y2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício vamos calcular o volume de uma região delimitada da seguinte forma: inferiormente pelo plano , lateralmente pelo cilindro com equação e no topo pelo paraboloide com equação .

Passo 2

Já sabemos que o volume para o sólido em coordenadas cilindricas é dado pela integral:

Precisamos primeiro integrar em relação a , seguido de e por fim em relação a .

Passo 3

Sabemos também que e são projeções no plano xy e z é a coordenada vertical cartesiana.

Agora podemos definir os limitantes sabendo que e representa o raio de um círculo.Como , para teremos:

Sabemos que e , logo em teremos:

Passo 4

Portanto a equação que representa o volume é:

Resposta

Desta forma, concluímos que o resultado deste exercício é um volume igual a (unidades de volume).

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular ∭ T z . d V , onde T é a região interior às superfícies z = - 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .

Calcular ∭_T^() d V , onde T é a região limitada por x^2 + y^2 - x = 0 e x^2 + y^2 + z^2 = 1 .

Calcular ∭ T z . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .

Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 ) d V , onde T é a região interior ao cilindro x 2 + y 2 = 1 e à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

Calcular ∭_T^() ( x^2 + y^2 ) d V , onde T é delimitada por x^2 + y^2 = 1 , x^2 + y^2 = 4 , x^2 + y^2 + z^2 = 9 e z = 0