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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 67

Centro de massa Um sólido de densidade constante é delimitado abaixo pelo plano z = 0, acima pelo cone z = r, r ≥ 0,

e dos lados pelo cilindro r = 1. Encontre o centro de massa.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício precisaremos encontrar o centro de massa de um sólido com densidade constante. Relembrando os conceitos e as fórmulas para coordenadas cartesianas, vamos aplicar este conhecimento em coordenadas cilíndricas. Sabemos também que para calcular o centro de massa precisaremos da massa e dos momentos em relação aos planos coordenados.

Passo 2

Sabemos que o sólido é limitado inferiormente pelo plano z = 0 , e superiormente pelo cone com equação z = r e r ≥ 0 . Temos também limitação lateral pelo cilindro cuja equação é r = 1 .

Passo 3

Nosso primeiro passo é definir os limitantes da integral.O intervalo de r é definido pela equação do cilindro, logo: 0 ≤ r ≤ 1 Para z , o intervalo é definido pelo raio, então: 0 ≤ z ≤ r Por fim, teremos o ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ π 2

Vamos calcular a massa do sólido com densidade igual a 1? Veja como faz!Em coordenadas cilindricas:

M   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     ∫ 0 r     d z r d r d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     r 2 d r d θ   = 4 3 ∫ 0 π / 2     d θ   = 2 π 3

Passo 4

O primeiro momento em relação aos planos coordenados é:

M x y   = 4 ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     ∫ 0 r     z d z r d r d θ   = 1 2 ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     r 3 d r d θ   = 1 8 ∫ 0 2 π     d θ   = π 4

Passo 5

O centroide do sólido ( x ‾ , y ‾ , z ‾ ) está sobre o eixo de simetria, isso faz com que x ‾ = y ‾ = 0 .Para z ‾ , dividiremos o primeiro momento M x y pela massa. Então:

z ‾   = M x y M   = π 4 3 2 π   = 3 8

Resposta

Por fim, temos como conclusão deste exercício, que o centro de massa está localizado em

0,0 , 3 8

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Nos exercícios 11 a 19, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas.15. x 2 + y 2 = 8 1 ; z = 2 e z = 100 .