Mostramos, nesta seção, que uma solução da equação de Bessel de ordem zero L y = x 2 y ' ' + x y ' + x 2 y = 0 é J 0 , em que J 0 x é dada pela Eq. (7) com a 0 = 1 . De acordo com o Teorema 5.6.1, uma segunda solução tem a forma x0 y 2 x = J 0 x l n x + ∑ n = 1 ∞ b n x n . a) Mostre que L y 2 x = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 b n x n + ∑ n = 1 ∞ n b n x n + ∑ n = 1 ∞ b n x n + 2 + 2 x J 0 ' x ( i ) b) Substituindo a representação em série de J 0 ( x ) na Eq (i), mostre que b 1 x + 2 2 b 2 x 2 + ∑ n = 3 ∞ n 2 b n + b n - 2 x n = - 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n 2 2 n n ! 2( i i ) Dica: ver questão 8.c) Note que aparecem apenas potêcias pares de x na expressão á direita do sinal de igualdade na Eq (ii). Mostre que b 1 = b 3 = b + 5 = … . = 0 ,b 2 = 1 2 2 1 ! 2 e que 2 n 2 b 2 n + b 2 n - 2 = - 2 - 1 n 2 n 2 2 n n ! 2 ,n = 2,3 , 4 … Deduza que b 4 = - 1 2 2 4 2 1 + 1 2eb 6 = 1 2 2 4 2 6 2 1 + 1 2 + 1 3 A solução geral da relação de recorrência é b 2 n = - 1 n + 1 H n 2 2 n n ! 2 . Substituindo b n na expressão para y 2 x , obtemos a solução na Eq. (10).

Enunciado

c) Igualando o coeficiente nos dois lados da equação, encontramos que

Ainda, com , isso é

Temso então que para

Mais especificamente

Isso pode ser mostrado como

Ei, a resposta está no passo a passo :)