Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 28
28. Mostre que a equação de Legendre também pode ser escrita como
Segue, então, que
E
Multiplicando a primeira equação por Pm(x), a segunda por Pn(x), integrando por partes e depois subtraindo uma equação da outra, mostre que
Se
Essa propriedade dos polinômios de Legendre é conhecida como a propriedade de ortogonalidade. Se m = n, pode-se mostrar que o valor da integral acima é 2/(2n + 1)
Passo 1
A primeira coisa que precisamos fazer para nos nortear é olhar para a equação de Legendre
O que o enunciado quer de nos é que mostremos que
Essa segunda equação é a equação de Legendre. Logo só nos resta derivar
Prontinho conseguimos provar que realmente tínhamos a equação de Legendre em mãos
Passo 2
Agora o enunciado nos pede para provar que
Se .
Bem Pode parecer estranho, mas esse calculo é um produto interno
Vamos Lembrar de quando fizemos geometria analítica e tínhamos que
Onde é o ângulo estre os vetores. Se eles eram ortogonais o que faz com que o produto interno seja nulo, visto que . O produto interno no modo integral funciona da mesma maneira
Podemos pensar nas funções como vetores. E se eles forem ortogonais essa integração é nula. Fisicamente isso acontece quando nossas partículas estão em poços de potencial em estados excitados diferentes, por exemplo. Vamos testar e ver se funciona, podemos pegar polinômio de Legendre mais simples, por exemplo
Todos os polinômios de Legendre são ortogonais entre si, então pegar qualquer um para exemplo serve. Assim nossa integral fica
Pode testar com qualquer e obterá o mesmo resultado. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)