Enunciado

Mostramos, nesta seção, que uma solução da equação de Bessel de ordem zero

L y = x 2 y ' ' + x y ' + x 2 y = 0

é J 0 ,   em que J 0 x é dada pela Eq. (7) com a 0 = 1 . De acordo com o Teorema 5.6.1, uma segunda solução tem a forma x > 0

y 2 x = J 0 x l n x + ∑ n = 1 ∞ b n x n .

a) Mostre que

L y 2 x = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 b n x n + ∑ n = 1 ∞ n b n x n + ∑ n = 1 ∞ b n x n + 2 + 2 x J 0 ' x             ( i )

b) Substituindo a representação em série de J 0 ( x ) na Eq (i), mostre que

b 1 x + 2 2 b 2 x 2 + ∑ n = 3 ∞ n 2 b n + b n - 2 x n = - 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n 2 2 n n ! 2               ( i i )

Dica: ver questão 8.

Passo 1

b) Dado que L y 2 x = 0 ,   depois ajustando os índices do resultado da letra a, temos

b 1 x + 2 2 b 2 x 2 + ∑ n = 3 ∞ n 2 b n + b n - 2 x n = - 2 x J o ' x

Usand a serie de J 0 ' ( x ) na questão 8

b 1 x + 2 2 b 2 x 2 + ∑ n = 3 ∞ n 2 b n + b n - 2 x n = - 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n 2 2 n n ! 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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