Seja derivável em e seja o erro que se comete na aproximação do acréscimo “” por “”. Prove que tende a mais rapidamente que , quando tende a zero, isto é, que . Prove, ainda, que para todo , .
Passo 1
Vamos entender o que é . Queremos usar , ou seja, a derivada no ponto multiplicado por uma variação de como aproximação de e é uma função dessa variação que representa o erro da aproximação, então temos
Dividindo ambos os lados por
Calculando o limite quando
Usando a propriedade da soma dos limites
Por definição, sabemos que
Então
Passo 2
Se pegarmos o limite que calculamos
E substituirmos por
E então seguindo os mesmos procedimentos para o cálculo do limite
Se , então
Ou ainda
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)