Seja F : I → R n derivável em t 0 ∈ I e seja E Δ t o erro que se comete na aproximação do acréscimo “ F t 0 + Δ t - F t 0 ” por “ F ' t 0 Δ t ”. Prove que E ( Δ t ) tende a 0 → mais rapidamente que Δ t , quando Δ t tende a zero, isto é, que lim ⁡ E Δ t Δ t = 0 → . Prove, ainda, que para todo a → ≠ F ' t 0 , lim t → t 0 ⁡ F t 0 + Δ t - F t 0 - a → Δ t Δ t ≠ 0 → .

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 15

Seja derivável em e seja o erro que se comete na aproximação do acréscimo “” por “”. Prove que tende a mais rapidamente que , quando tende a zero, isto é, que . Prove, ainda, que para todo , .

Passo 1

Vamos entender o que é . Queremos usar , ou seja, a derivada no ponto multiplicado por uma variação de como aproximação de e é uma função dessa variação que representa o erro da aproximação, então temos

Dividindo ambos os lados por

Calculando o limite quando

Usando a propriedade da soma dos limites

Por definição, sabemos que

Então

Passo 2

Se pegarmos o limite que calculamos

E substituirmos por

E então seguindo os mesmos procedimentos para o cálculo do limite

Se , então

Ou ainda

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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