Determine r = r(t) sabendo que

(dr/dt) = sen(t) i + cos(2t) j + (1/(t+1)) k, t >= 0 e r(0) = i - j + 2k

Passo 1

Temos então r → ' , vamos integrar cada coordenada para achar r → .

Primeiro a coordenada x

x t = ∫ sen ⁡ t d t = - cos ⁡ t + C x

Agora a coordenada y

y t = ∫ cos ⁡ 2 t d t = sen ⁡ 2 t 2 + C y

E por fim a coordenada z

z t = ∫ 1 t + 1 d t = ln ⁡ ( t + 1 ) + C z

Temos então o vetor

r → = - cos ⁡ t + C x , sen ⁡ 2 t 2 + C y , ln ⁡ ( t + 1 ) + C z

Passo 2

Para encontrar as constantes, usamos a condição inicial r → 0 = i → - j → + 2   k → , substituindo então t = 0

r → = - 1 + C x , C y , C z = 1 , - 1,2

Podemos então encontrar as constantes

C x - 1 = 1 ⇒ C x = 2

C y = - 1

C z = 2

E o vetor que buscamos é

r → = - cos ⁡ t + 2 , sen ⁡ 2 t 2 - 1 , ln ⁡ ( t + 1 ) + 2

Resposta

r → = - cos ⁡ t + 2 , sen ⁡ 2 t 2 - 1 , ln ⁡ ( t + 1 ) + 2

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