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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 12b

Determine vec r = vec r (t) sabendo que

(d vec r)/(d t) = sen t vec i + cos 2 t vec j + (1)/(t + 1) vec k , t >= 0 e vec r (0) = vec i - vec j + 2 vec k

Passo 1

Temos então vec r^' , vamos integrar cada coordenada para achar vec r .

Primeiro a coordenada x

x (t) = int sen t d t = - cos t + C_x

Agora a coordenada y

y (t) = int cos 2 t d t = (sen 2 t)/(2) + C_y

E por fim a coordenada z

z (t) = int (1)/(t + 1) d t = ln ( t + 1 ) + C_z

Temos então o vetor

vec r = (- cos t + C_x , (sen 2 t)/(2) + C_y , ln ( t + 1 ) + C_z)

Passo 2

Para encontrar as constantes, usamos a condição inicial vec r (0) = vec i - vec j + 2 vec k , substituindo então t = 0

vec r = (- 1 + C_x , C_y , C_z) = (1 , - 1,2)

Podemos então encontrar as constantes

C_x - 1 = 1 => C_x = 2

C_y = - 1

C_z = 2

E o vetor que buscamos é

vec r = (- cos t + 2 , (sen 2 t)/(2) - 1 , ln ( t + 1 ) + 2)

Resposta

vec r = (- cos t + 2 , (sen 2 t)/(2) - 1 , ln ( t + 1 ) + 2)

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