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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.8 - Ex. 10

Mostrar que a função vetorial f → t = f 1 t i → + f 2 t j → + f 3 ( t ) k → é contínua em um intervalo I se, e somente se, as funções reais f 1 t ,   f 2 t e   f 3 ( t ) são contínuas em I .

Passo 1

Galera, se a função f → ( t ) é contínua num intervalo I , temos por definição que f ( t ) é contínua em todos os pontos t o que pertencem a este intervalo, ou

lim t → t o ⁡ f → ( t ) = f → t o ,   ∀   t o ∈ I

Temos, então, que:

lim t → t o ⁡ f → ( t ) = f 1 t o i → + f 2 t o j → + f 3 t o k → , ∀   t o ∈ I

Por uma propriedade de limite, temos:

lim t → t o ⁡ f → ( t ) = lim t → t o ⁡ f 1 ( t ) i → + lim t → t o ⁡ f 2 ( t ) j → + lim t → t o ⁡ f 3 ( t ) k →

Se compararmos as duas últimas equações, conseguimos tirar

lim t → t o ⁡ f 1 ( t ) = f 1 t o ,   lim t → t o ⁡ f 2 ( t ) = f 2 t o   e   lim t → t o ⁡ f 3 ( t ) = f 3 t o ,   ∀   t o ∈ I

o que implica em afirmar que f 1 t ,   f 2 t   e   f 3 ( t ) são contínuas em I .

Reciprocamente, supor que existem f 1 t o ,   f 2 t o   e   f 3 ( t o ) e existem os limites lim t → t o ⁡ f i ( t )   i = 1 ,   2 ,   3 , ∀     t o ∈ I e são iguais a f i t o   ( i = 1 ,   2 ,   3 ) . Portanto, podemos escrever:

f → t o = f 1 t o i → + f 2 t o j → + f 3 t o k →

= lim t → t o ⁡ f 1 ( t ) i → + lim t → t o ⁡ f 2 ( t ) j → + lim t → t o ⁡ f 3 ( t ) k →

= lim t → t o ⁡ f → ( t )

o que implica em afirmar que f → ( t ) é contínua em todo t o ∈ I .

Pronto, um pouco trabalhosa, mas tá feita a demonstração! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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