Suponha que r seja o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva plana e dA/dt seja a taxa na qual o vetor varre a área. Sem introduzir coordenadas e assumindo que as derivadas necessárias existem, dê um argumento geométrico com base nos incrementos e limites para a validade da equação

dA/dt = 1/2 |r × ṙ|

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções vetoriais e movimentos no espaço.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 6 sobre velocidade e aceleração em coordenadas polares.

A partir do enunciado teremos que:

∆ A = 1 2 r t + ∆ t × r t

Daí, teremos que:

∆ A ∆ t = 1 2 r t + ∆ t ∆ t × r t = 1 2 r t + ∆ t - r t + r t ∆ t × r t =

= 1 2 r t + ∆ t - r t ∆ t × r t + 1 ∆ t r t × r t = 1 2 r t + ∆ t - r t ∆ t × r t

Passo 2

Logo:

d A d t = lim ∆ t → 0 ⁡ 1 2 r t + ∆ t - r t ∆ t × r t = 1 2 d r d t × r t = 1 2 r t × d r d t = 1 2 r × r ˙

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.

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