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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.6 - Ex. 8

Suponha que r seja o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva plana e dA/dt seja a taxa na qual o vetor varre a área. Sem introduzir coordenadas e assumindo que as derivadas necessárias existem, dê um argumento geométrico com base nos incrementos e limites para a validade da equação

d A d t = 1 2 r × r ˙

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções vetoriais e movimentos no espaço.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 6 sobre velocidade e aceleração em coordenadas polares.

A partir do enunciado teremos que:

∆ A = 1 2 r t + ∆ t × r t

Daí, teremos que:

∆ A ∆ t = 1 2 r t + ∆ t ∆ t × r t = 1 2 r t + ∆ t - r t + r t ∆ t × r t =

= 1 2 r t + ∆ t - r t ∆ t × r t + 1 ∆ t r t × r t = 1 2 r t + ∆ t - r t ∆ t × r t

Passo 2

Logo:

d A d t = lim ∆ t → 0 ⁡ 1 2 r t + ∆ t - r t ∆ t × r t = 1 2 d r d t × r t = 1 2 r t × d r d t = 1 2 r × r ˙

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.

Exercícios de Livros Relacionados

Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:b) g → t = 1 t i → + t 2 - 1 j → + e t k →
Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:e) w → t = s e nt ,t gt ,e t
Sejam f → e g → funções vetoriais contínuas em um intervalo I . Mostrar que:b) f → × g → é contínua em I .
Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:a) f → t = a → . s e nt + b → . cos ⁡ t em 0 ,2 π onde a → = i → e b → = i → + j → .
Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:h) g → t = t 2 + 1 , 2 - t 2 t 2 - 2 t + 1 , 1 t