Mostrar que os limites não existem:

d) lim x → 0 y → 0 ⁡ x y x 2 + y 2

Passo 1

Para provar que o limite não existe, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) pelo eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

lim x → 0 y = 0 ⁡ x y x 2 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x ( 0 ) x 2 + ( 0 ) 2 = lim x → 0 ⁡ 0 x 2 = lim x → 0 ⁡ 0 = 0

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) através de pontos da reta y = x . Logo:

lim x → 0 y = x ⁡ x y x 2 + y 2 = lim x → 0 y = x ⁡ x x x 2 + x 2 = lim x → 0 y = x ⁡ x 2 2 x 2 = lim x → 0 y = x ⁡ 1 2 = 1 2

Como os resultados são diferentes, temo s que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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