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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 13d

Mostrar que os limites não existem:

d) underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (x y)/(x^2 + y^2)

Passo 1

Para provar que o limite não existe, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x , y ) de aproxima de ( 0 , 0 ) pelo eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

underset([[x -> 0],[y = 0]])(lim) (x y)/(x^2 + y^2) = underset(x -> 0)(lim) (x ( 0 ))/(x^2 + ( 0 )^2) = underset(x -> 0)(lim) (0)/(x^2) = underset(x -> 0)(lim) 0 = 0

Se ( x , y ) de aproxima de ( 0 , 0 ) através de pontos da reta y = x . Logo:

underset([[x -> 0],[y = x]])(lim) (x y)/(x^2 + y^2) = underset([[x -> 0],[y = x]])(lim) (x (x))/(x^2 + (x)^2) = underset([[x -> 0],[y = x]])(lim) (x^2)/(2 x^2) = underset([[x -> 0],[y = x]])(lim) (1)/(2) = (1)/(2)

Como os resultados são diferentes, temo s que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Verificar se os seguintes limites existem:c) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x y)/(x^3 + y^2)
Mostrar que os limites não existem:f) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^2 - 4 y^2)/(x^2 + y^2)
Mostrar que os limites não existem:h) underset([[x - 1],[y - 0]])(lim) ((x - 1)^2 y)/((x - 1)^4 + y^2)
Verificar se os seguintes limites existem:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^3 - y^3)/(x^2 + y^2)
Mostrar que os limites não existem:g) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^3)/(x^3 + y^2)