Verificar se os seguintes limites existem:

c) underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (x y)/(x^3 + y^2)

Passo 1

Vamos supor que o limite não existe, assim para provar isso, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x , y ) de aproxima de ( 0 , 0 ) pelo eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

underset([[x -> 0],[y = 0]])(lim) (x y)/(x^3 + y^2) = underset([[x -> 0],[y = 0]])(lim) (x (0))/(x^3 + (0)^2) = underset(x -> 0)(lim) (0)/(x^3) = underset(x -> 0)(lim) 0 = 0

Se ( x , y ) de aproxima de ( 0 , 0 ) através de pontos da reta y = x . Logo:

underset([[x -> 0],[y = x]])(lim) (x y)/(x^3 + y^2) = underset([[x -> 0],[y = x]])(lim) (x (x))/(x^3 + (x)^2) = underset([[x -> 0],[y = x]])(lim) (x^2)/(x^2 ( x + 1 )) = underset([[x -> 0],[y = x]])(lim) (1)/(x + 1) = 1

Como os resultados são diferentes, temos que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Verificar se os seguintes limites existem:d) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (5 y - x)/(2 x - y)
Mostrar que os limites não existem:a) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)
Mostrar que os limites não existem:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (3 x y)/(4 x^2 + 5 y^2)
Verificar se os seguintes limites existem:b) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (- x^2 y)/(2 x^2 + 2 y^2)
Mostrar que os limites não existem:h) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (y^4 + 3 x^2 y^2 + 2 y x^3)/((y^2 + x^2)^2)