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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 17

Mostrar que, se f ( x , y , z ) é solução da equação de Laplace, ∇ f é um campo vetorial que é, ao mesmo tempo solenoidal e irrotacional.

Passo 1

Queremos provar que se o campo vetorial ∇ f é solemoidal e irrotacional, visto que f ( x , y , z ) é solução da equação de Laplace.

A equação de Laplace é a seguinte:

∇ 2 f = 0

Podemos também escrever da seguinte forma:

div ⁡ grad ⁡ f = 0

Em que grad ⁡ f pode é um campo vetorial e pode ser escrito como ∇ f .

Passo 2

Temos que saber que um campo é solenoidal quando o divergente do campo é igual à zero, ou seja, div ⁡ f = 0 . Então, o campo vetorial dado ∇ f será solenoidal se:

div ⁡ ∇ f = 0

Temos que f ( x , y , z ) é solução da equação de Laplace pela hipótese dada no enunciado, então podemos afirmar que o campo vetorial ∇ f é solenoidal.

Passo 3

Também temos que saber que um campo vetorial é irrotacional se rot ⁡ f → = 0 → . Aqui, podemos usar o teorema 6.9 . 3 para afirmar que o campo ∇ f é irrotacional, pois pelo teorema, se um campo ∇ f admite uma função potencial f x , y , z , podemos afirmar que rot ⁡ ∇ f = 0 .

Resposta

v → = 2 x y + x 2 + y 2 i → + - y 2 - 2 x y + c x j →

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O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.d ) vec F (x , y , z) = (x)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec i + (y)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec j + (z)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec k
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.b ) vec F (x , y) = y vec i + x vec j
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.c ) vec F (x , y , z) = (x - y) vec i + (x + y + z) vec j + z^2 vec k
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.vec F (x , y , z , w) = ( x , y , z , w )
Seja f :R → R uma função contínua e seja F → o campo vetorial central: F → x , y , z = f r r → r , Onde r → = x i → + y j → + z k → e r = r → . Prove que F → é conservativo.(sugestão: verifique que ∇