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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 2

Seja f :   R → R uma função contínua e seja F → o campo vetorial central:

F → x , y , z = f r r → r ,  

Onde r → = x i → + y j → + z k → e r = r → . Prove que F → é conservativo.

(sugestão: verifique que ∇ φ = F → onde φ x , y , z = g x 2 + y 2 + z 2 sendo g ( u ) uma primitiva de f ( u ) )

Passo 1

Vamos usar a sugestão e considerar φ x , y , z = g x 2 + y 2 + z 2 onde g é uma primitiva de f .

Daí, temos pela regra da cadeia:

∂ φ ∂ x = ∂ g ∂ r ⋅ ∂ r ∂ x = d g d r ⋅ x x 2 + y 2 + z 2

∂ φ ∂ y = ∂ g ∂ r ⋅ ∂ r ∂ y = d g d r ⋅ y x 2 + y 2 + z 2

∂ φ ∂ z = ∂ g ∂ r ⋅ ∂ r ∂ z = d g d r ⋅ z x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Então, temos que:

∇ φ = x x 2 + y 2 + z 2 i →   f r + y x 2 + y 2 + z 2 j →   f r +   z x 2 + y 2 + z 2   k →   f ( r )

Somando agora:

∇ φ = x i → + y j → + z k → x 2 + y 2 + z 2 f ( r )

E como r → = x 2 + y 2 + z 2 e r → = x i → + y j → + z k → , a gente tem que:

∇ φ = r → r →   f r =   F →

Então, como existe um gradiente igual a função, concluímos que F → é conservativo!

Prontinho😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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