Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 1d

O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.

d ) vec F (x , y , z) = (x)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec i + (y)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec j + (z)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec k

Passo 1

Bom, pra um campo ser conservativo, precisamos ter uma função f tal que o gradiente de f seja igual a vec F . Ou seja:

grad f (x , y) = vec F (x , y)

Então a gente pode fazer o seguinte:

(del f)/(del x) = (x)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)

(del f)/(del y) = (y)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)

(del f)/(del z) = (z)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)

Passo 2

Integrando cada caso encontramos:

f (x , y , z) = - (1)/(2 (x^2 + y^2 + z^2)) + A ( y , z )

f (x , y , z) = - (1)/(2 (x^2 + y^2 + z^2)) + B ( x , z )

f (x , y , z) = - (1)/(2 (x^2 + y^2 + z^2)) + C ( x , y )

Bom, a gente precisa de uma função que se encaixe nesses quesitos aí. Veja só, a gente tem uns termos que se repete em todas as igualdades, então pra isso ser uma função potencial, a gente só precisa que os termos A , B e C sejam constantes. Ou seja, uma função que se encaixa é:

f (x , y , z) = - (1)/(2 (x^2 + y^2 + z^2)) + K

Como existe a tal função, o campo é conservativo!

Resposta

Sim.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais. F x , y = x 1 + zi + y 1 + x j + z 1 + yk
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais. F x , y = l n ( 2 y + 3 z )i + l n ⁡ ( x + 3 z ) j + l n ⁡ ( x + 2 y )k
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais. F x , y = x 1 + zi + y 1 + x j + z 1 + yk
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais. F x , y = x y 2 z 2i + x 2 y z 2j + x 2 y 2 zk
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais. F x , y = x 3 y z 2j + y 4 z 3k