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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 1d

O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.

d ) vec F (x , y , z) = (x)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec i + (y)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec j + (z)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec k

Passo 1

Bom, pra um campo ser conservativo, precisamos ter uma função f tal que o gradiente de f seja igual a vec F . Ou seja:

grad f (x , y) = vec F (x , y)

Então a gente pode fazer o seguinte:

(del f)/(del x) = (x)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)

(del f)/(del y) = (y)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)

(del f)/(del z) = (z)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)

Passo 2

Integrando cada caso encontramos:

f (x , y , z) = - (1)/(2 (x^2 + y^2 + z^2)) + A ( y , z )

f (x , y , z) = - (1)/(2 (x^2 + y^2 + z^2)) + B ( x , z )

f (x , y , z) = - (1)/(2 (x^2 + y^2 + z^2)) + C ( x , y )

Bom, a gente precisa de uma função que se encaixe nesses quesitos aí. Veja só, a gente tem uns termos que se repete em todas as igualdades, então pra isso ser uma função potencial, a gente só precisa que os termos A , B e C sejam constantes. Ou seja, uma função que se encaixa é:

f (x , y , z) = - (1)/(2 (x^2 + y^2 + z^2)) + K

Como existe a tal função, o campo é conservativo!

Resposta

Sim.

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