Se 4x^2 - y^2 = 64 , mostre que

d s^2 = 4 / y^2 (5x^2 - 16) d x^2

Passo 1

Vamos começar vendo como é a fórmula do d s 2 :

d s 2 = d x 2 + d y 2

Repare que no enunciado ele quer que sobre um d x 2 ali no termo certo? Vamos coloca-lo em evidência na fórmula do d s 2

d s 2 = d x 2 1 + d y 2 d x 2

Arrumando aquele termo ao quadrado dentro do parêntes, para aparecer a derivada, vamos ter:

d s 2 = d x 2 1 + d y d x 2

Entao para acharmos a fórmula do d s 2 , precisamos achar a derivada de y em relação a x

Passo 2

Vamos derivadar implicitamente. Ou seja, quando derivamos o y , vai aparecer sempre um y ' porque o y é uma função de x .

Temos que derivar a seguinte equação:

4 x 2 - y 2 = 64

Derivando dos dois lados, teremos:

4 x 2 - y 2 ' = 64 '

4 x 2 ' - y 2 ' = 64 '

8 x - 2 y y ' = 0

Não equeça do y ' ali junto do y beleza?

Vamos isolar o y '

y ' = 8 x 2 y

y ' = 4 x y

Lembrando que

y ' = d y d x

Vamos ter:

d y d x = 4 x y

Passo 3

Voltando para a fórmula do d s 2

d s 2 = d x 2 1 + d y d x 2

Vamos substituir a derivada que achamos no último passo:

d s 2 = d x 2 1 + 4 x y 2

d s 2 = d x 2 1 + 16 x 2 y 2

Igualando os denominadores na soma dentro dos parênteses

d s 2 = d x 2 y 2 + 16 x 2 y 2

d s 2 = d x 2 y 2 y 2 + 16 x 2

Essa não é exatamente a fórmula que ele deu né? Isso porque ele pegou o valor de y 2 pela equação inicial e substituiu ali. Assim oh:

4 x 2 - y 2 = 64

y 2 = 4 x 2 - 64

Substituindo:

d s 2 = d x 2 y 2 4 x 2 - 64 + 16 x 2

d s 2 = d x 2 y 2 20 x 2 - 64

Colocando o 4 em evidência:

d s 2 = 4 d x 2 y 2 5 x 2 - 16

Que é exatamente o que ele pediu.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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