Um sólido é formado pela rotação em torno do eixo y , da região limitada, da região limitada pela curva y = x 3 , pelo eixo x e pela reta x = c , onde c > 0 . Para que valores de c o volume do sólido é de 12 π unidades cúbicas?

Passo 1

Com questões desse tipo, tentamos sempre fazer o gráfico da função para termos uma direção!

A ideia é que já temos a função apenas falta os limites de integração e ficará muito fácil desenhando o gráfico!

Como é rotação em torno de y , utilizaremos essa fórmula:

V = 2 π ∫ x y d x

Passo 2

Vamos usar o passo 2 para esboçar um gráfico e tentarmos extrair coisas legais desse gráfico:

Obs: Imagem meramente ilustrativa, ela não tem fidelidade, é infiel, com a questão do gráfico!

Então desse gráfico maroto tiramos que o intervalo de integração é de 0 até c .

Passo 3

Vamos fazer a integral agora! Já fizemos toda a análise possível!

O volume segundo a nossa questão é de 12 π unidades cúbicas (apenas uma formalidade para os físicos não ficarem chateados kkkk)

Com os limites de integração de 0 a c , faremos a integral e igualaremos ao valor que eu disse anteriormente 12 π .

V = 2 π ∫ 0 c x x 1 3 d x = 2 π ∫ 0 c x 4 3 d x = 2 π 3 7 x 7 3 c 0 = 6 π 7 c 3 7

V = 1 2 π

Resolvendo a equação

1 2 π = 6 π 7 c 3 7

c 3 7 = 14

c = 14 7 3

Resposta

c = 14 7 3

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Ache a área da região limitada pela curva y = arcsen(2x) , pela reta x = 1 / 4 * raiz(3) e pelo eixo x .
Ache o comprimento do arco da parábola y^2 = 6x de x = 6 a x = 12 .
Ache o comprimento do arco da curva y = ln x de x = 1 a x = e .
Ache o comprimento da catenária y = cosh(x) de (ln(2), 5 / 4) até (ln(3), 5/3).
Ache o centróide da região limitada pela parábola y 2 = x e pela reta y = x - 2 .