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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 20

Ache o comprimento do arco da curva 3 y = x 2 - 2 3 2 do ponto x = 3 ao ponto x = 6 .

Passo 1

Para calcular o comprimento do arco da curva precisamos aplicar a seguinte formula:

d = ∫ b a 1 + d y d x 2 d x

Então sendo y = x 2 - 2 3 2 3 , vamos começar calculando a derivada d y d x , segue comigo my friend!

d y d x = x 2 - 2 3 2 3 '

Note que existe aqui uma função dentro de outra função, logo precisamos usar a regra da cadeia!!

u = x 2 - 2                   d u d x = 2 x

y = u 3 2 3                                 d y d u = u 1 2 2

Assim teremos que:

d y d x = d y d u . d u d x

d y d x = u 1 2 2 . 2 x

Agora devemos voltar a variável x , afinal u foi apenas uma muleta para nos ajudar a chegar com mais facilidade no resultado!!!

d y d x = x x 2 - 2 1 2

Passo 2

Aplicando a formula do comprimento:

d = ∫ 3 6 1 + x x 2 - 2 1 2 2 d x

d = ∫ 3 6 1 + x 4 - 2 x 2 d x

Note que temos um quadrado da diferença de dois termos dentro da nossa raiz!

Lembrando que:

a - b 2 = a 2 + b 2 - 2 a b

Onde, nesse caso, a = x 2 e b = 1 , assim teremos :

d = ∫ 3 6 x 2 - 1 2 d x

d = ∫ 3 6 x 2 - 1 d x

Olha só quanto já avançamos! Mas vamos continuar com cautela para não cometer erros. Por isso vamos calcular primeiro a primitiva:

∫ x 2 - 1 d x = x 3 3 - x + C

Passo 3

Agora que sabemos a primitiva podemos, com segurança, calcular o comprimento da curva:

d = ∫ 3 6 x 2 - 1 d x = 6 3 3 - 6 - 3 3 3 - 3

d = 60

Resposta

d = 60

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