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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 55

Determine o comprimento da curva

y = (x^2)/(8) - ln x

4 <= x <= 8

Passo 1

A questão vai direto ao ponto. Precisamos calcular um comprimento de arco. Para isto, vamos relembrar da definição vista na Seção 6.3. Se f ' é continua em [a , b] , então o comprimento da curva y = f ( x ) do ponto A = (a , f (a)) ao ponto B = (b , f (b)) é o valor da integral

L = int_a^b sqrt(1 + [f^' (x)]^2) d x = int_a^b sqrt(1 + [(d y)/(d x)]^2) d x

Portanto, precisamos obter f ' ( x ) , analisar a continuidade da função no intervalo 4 <= x <= 8 e posteriormente aplicar diretamente na função acima! Simples, não é?

Passo 2

Vamos começar por obter a derivada de f ( x ) . Se f (x) = x^2 // 8 - ln x , temos:

f^' (x) = (x)/(4) - (1)/(x) = (x^2 - 4)/(4 x)

Quando estudamos continuidade, vimos que a razão de funções contínuas são funções contínuas desde que o denominador seja diferente de 0. Como tanto o numerador são funções contínuas, pois são funções polinomiais, basta que o denominador seja diferente de 0. Isto é, x != 0 . Como o intervalo que queremos analisar o comprimento da curva é 4 <= x <= 8 , a função satisfaz a definição do Passo 1!!! Agora é moleza só partir para o cálculo da integral.

Passo 3

Vamos calcular o comprimento do arco através da fórmula do Passo 1. Portanto, temos:

L = int_a^b sqrt(1 + [f^' (x)]^2) d x = int_4^8 sqrt(1 + [(x^2 - 4)/(4 x)]^2) d x

L = int_4^8 sqrt(1 + (x^4 - 8 x^2 + 1 6)/(16 x^2)) d x

L = int_4^8 sqrt((x^4 + 8 x^2 + 1 6)/(16 x^2)) d x

A função g (x) = x^4 + 8 x^2 + 16 pode ser escrita por (x^2 + 4)^2 . Fazendo esta substituição, temos:

L = int_4^8 sqrt(((x^2 + 4)^2)/(16 x^2)) d x = int_4^8 sqrt(()^2) d x

L = int_4^8 (x^2 + 4)/(4 x) d x = int_4^8 ((x)/(4) + (1)/(x)) d x

Resolvendo a integral, obtemos:

L = ([(x^2)/(8) + ln |x|]|_4^8 = [(64)/(8) + ln 8] - [(16)/(8) + ln 4]

L = 6 + 3 ln 2 - 2 ln 2

L = 4 + ln 2

Resposta

L = 4 + ln 2

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