Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.7 - Ex. 10
Usando o Teorema 9.7.2, mostre que o sistema autônomo linear
Não tem solução periódica (diferente de , ) se .
Passo 1
Tá legal, então, conforme nos foi dado no enunciado, nós teremos as funções e da seguinte forma:
Então, calculando suas derivadas, temos:
Passo 2
Então, com isso, teremos:
Então, baseado na hipótese dada, a soma é positiva ou negativa no plano todo.
Passo 3
Então, pelo Teorema 9.7.2, o sistema não pode possuir a solução que não seja a trivial (aquela com e ).
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
17. Considere o sistema de van der Pol x ' = y , y ' = - x + μ 1 - x 2 y , em que permitimos agora que μ seja qualquer número real.(a) Mostre que a origem é o único ponto crítico. Determine seu tipo e
18. Considere o sistema x ' = x 2,4 - 0,2 x - 2 y x + 6 , y ' = y - 0,25 + x x + 6 Note que esse sistema só difere do sistema no Problema 13 da Seção 9.5 na taxa de crescimento da presa.(a) Encontre t
19. Considere o sistema x ' = x a - 0,2 x - 2 y x + 6 , y ' = y - 0,25 + x x + 6 Em que a é um parâmetro positivo. Note que esse sistema inclui o do Problema 18 acima e também o do Problema 13 na Seçã
16. Considere o sistema de equações x ' = μ x + y - x x 2 + y 2 , y ' = - x + μ y - y x 2 + y 2 i em que μ é um parâmetro. Observe que esse sistema é o mesmo que o do Exemplo 1, exceto pela introdução
20. Existem determinadas reações químicas nas quais as concentrações constituintes oscilam periodicamente com o tempo. O sistema x ' = 1 - b + 1 x + x 2 y 4 , y ' = b x - x 2 y 4 é um caso particular