Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.7 - Ex. 2
Em cada um dos problemas de 1 a 6, um sistema autônomo está expresso em coordenadas polares. Determine todas as soluções periódicas, todos os ciclos limites e suas características de estabilidade.
Passo 1
Beleza! Vamos começar encontrando os pontos críticos da equação dada, então, temos:
Daqui temos duas possibilidades:
Então, temos 2 pontos críticos, são eles:
Passo 2
Então, teremos:
Dessa forma, temos que corresponde a um ponto crítico instável. Já no ponto temos um ponto semi-estável.
Passo 3
E, o ciclo limite por sua vez é dado por:
Então, teremos:
Que é semi-estável.
Resposta
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Em cada um dos problemas de 6 a 10, faça as investigações pedidas sobre as equações de Lorenz.6. Para r=28 , faça o gráfico de x em função de t para os casos ilustrados nas Figuras 9.8.2 e 9.8.3. Seus
4. Use a função de Liapunov V x ,y ,z = x 2 + σ y 2 + σ z 2 para mostrar que a origem é um ponto crítico global assintoticamente estável para as equações de Lorenz (1) se r1 .
3.(a) Resolvendo a Eq. (12) numericamente, mostre que a parte real das raízes complexas muda de sinal quando r≅24,737 .(b) Mostre que um polinômio de grau três da forma x 3 + A x 2 + B x + C tem uma r
8. (a) Para r=21 , faça os gráficos de x em função de t para as soluções com pontos iniciais ( 3 ,8 ,0 ) , ( 5 ,5 ,5 ) e ( 5 ,5 ,10 ) . Use um intervalo para t de, pelo menos,0≤t≤30 . Compare seus grá
8. (a) Para r=21 , faça os gráficos de x em função de t para as soluções com pontos iniciais ( 3 ,8 ,0 ) , ( 5 ,5 ,5 ) e ( 5 ,5 ,10 ) . Use um intervalo para t de, pelo menos,0≤t≤30 . Compare seus grá