Sejam F e G as funções definidas por:

F x = x 2 + 3 x x e G x = x + 3             x > 0 x ,                           x < 0

( a ) Mostre que F e G têm a mesma derivada.

( b ) Mostre que G x ≠ F x + C com qualquer constante C .

( c ) As partes ( a ) e ( b ) violam o Teorema 5.2 . 2 ? Explique.

Passo 1

Bom galera, vamos começar derivando F ( x ) e G ( x ) , para observar:

F ' x = 1

G ' x = 1

São iguais porque as constantes somem quando deriva.

Passo 2

Agora, para x > 0 a gente tem:

G x = x + 3 = F ( x )

Logo C = 0 . Mas quando x < 0 , aí:

G x = x = F x - 3

Logo C = - 3 . Então, como nós obtemos dois valores para C , não existe um valor para C G x = F x + C para todo x ≠ 0 .

Passo 3

Por fim, a gente precisa notar que as partes ( a ) e ( b ) não violam o Teorema 5.2 . 2 , porque as anti-derivadas não são definidas em um intervalo simples, são definidos para qualquer ponto que não seja 0 .

Pronto galera, era só isso que o problema queria 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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