Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 53

  1. Mostre que a área abaixo do gráfico de y = x 3 e acima do intervalo [ 0 , b ] é b 4 4 .
  2. Encontre uma fórmula para a área abaixo de y = x 3 e acima do intervalo [ a , b ] , onde a ≥ 0 .

Passo 1

  1. Segundo a definição 5.4.3, a área acima da curva de f ( x ) em [ a , b ] , f x ≥ 0   em [ a , b ] é dada por:

    2. A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

    Onde sendo calculada pela extremidade direita, a gente faz:

    Δ x = b - a n

    x k * = a + k Δ x

    Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

    Δ x = b - 0 n = b n

    x k * = b k n

    Passo 2

    Vamos aplicar na fórmula da área então:

    A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n b k n 3 b n  

    A = lim n → ∞ ⁡ b n ∑ k = 1 n b k n 3  

    A = l i m n → ∞ b n b 3 n 3 ∑ k = 1 n k 3  

    Resolvendo o somatório agora...

    A = l i m n → ∞ b 4 n 4 n 2 n + 1 2 4

    A = l i m n → ∞ b 4 4 n 2 n 2 + 2 n + 1  

    A = l i m n → ∞ b 4 4 + 2 b 4 4 n + b 4 4 n 2  

    A = b 4 4

    E pronto! Chegamos ao resultado que queríamos😉

    Passo 3

  2. Vamos aplicar a mesma fórmula só que agora no intervalo [ a , b ] , sendo que a função nesse intervalo também é positiva.

Δ x = b - a n

x k * = a + k b - a n

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n a + k b - a n 3 b - a n

A = l i m n → ∞ b - a n ∑ k = 1 n a n + k b - a n 3  

Desenvolvendo esse somatório e esse limite, a gente chega em:

A = 1 4 b 4 - a 4

(o que era esperado pelo item a )

Resposta

b )   A = 1 4 b 4 - a 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas. lim t → 2 ⁡ t 2 - 2 t 3 - 3 t + 5 2
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas. lim x → - 2 ⁡ ( 3 x 4 + 2 x 2 - x + 1 )
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas. lim t → - 2 ⁡ t 4 - 2 2 t 2 - 3 t + 2
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas. lim x → 8 ⁡ ( 1 + x 3 ) ( 2 - 6 x 2 + x 3)
51. (a) Se o símbolo ⟦⟧ denota a função maior inteiro do Exemplo 10, calcule i lim x → - 2 + ⁡ x ⟦ ⟧ i i lim x → - 2 ⁡ x ⟦ ⟧ i i lim x → - 2,4 ⁡ x ⟦ ⟧(b) Se n for um inteiro, calcule i lim x → n - ⁡ x