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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 53

  1. Mostre que a área abaixo do gráfico de y = x 3 e acima do intervalo [ 0 , b ] é b 4 4 .
  2. Encontre uma fórmula para a área abaixo de y = x 3 e acima do intervalo [ a , b ] , onde a ≥ 0 .

Passo 1

  1. Segundo a definição 5.4.3, a área acima da curva de f ( x ) em [ a , b ] , f x ≥ 0   em [ a , b ] é dada por:

    2. A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

    Onde sendo calculada pela extremidade direita, a gente faz:

    Δ x = b - a n

    x k * = a + k Δ x

    Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

    Δ x = b - 0 n = b n

    x k * = b k n

    Passo 2

    Vamos aplicar na fórmula da área então:

    A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n b k n 3 b n  

    A = lim n → ∞ ⁡ b n ∑ k = 1 n b k n 3  

    A = l i m n → ∞ b n b 3 n 3 ∑ k = 1 n k 3  

    Resolvendo o somatório agora...

    A = l i m n → ∞ b 4 n 4 n 2 n + 1 2 4

    A = l i m n → ∞ b 4 4 n 2 n 2 + 2 n + 1  

    A = l i m n → ∞ b 4 4 + 2 b 4 4 n + b 4 4 n 2  

    A = b 4 4

    E pronto! Chegamos ao resultado que queríamos😉

    Passo 3

  2. Vamos aplicar a mesma fórmula só que agora no intervalo [ a , b ] , sendo que a função nesse intervalo também é positiva.

Δ x = b - a n

x k * = a + k b - a n

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n a + k b - a n 3 b - a n

A = l i m n → ∞ b - a n ∑ k = 1 n a n + k b - a n 3  

Desenvolvendo esse somatório e esse limite, a gente chega em:

A = 1 4 b 4 - a 4

(o que era esperado pelo item a )

Resposta

b )   A = 1 4 b 4 - a 4

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